Seja Y1, ldots, Yn uma v.a iid da distribuição de Poisson com parâmetro lambda.
Faça uma ilustração computacional e compare a distribuição empírica com a distribuição aproximada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (iid) que seguem a distribuição de Poisson com parâmetro lambda. Nosso objetivo é fazer uma ilustração computacional, ou seja, usar o computador para visualizar os dados, e comparar a distribuição que a gente observa empiricamente com a distribuição teórica que a Poisson propõe. Para isso, vamos precisar entender a distribuição de Poisson, gerar os dados, e fazer os gráficos para comparar as duas distribuições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de ocorrências de um evento em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos acontecem com uma taxa média constante lambda e são independentes entre si. A função de probabilidade da Poisson é dada por:
P(Y = k) = lambda^k e^-lambdak!, k = 0, 1, 2, ldots
Isso significa que a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos em um intervalo é essa expressão.

Passo 3

Agora, vamos para a parte computacional. Primeiro, precisamos gerar n observações de uma variável aleatória que segue a distribuição de Poisson com parâmetro lambda. Em muitas linguagens de programação, como Python ou R, existem funções prontas para isso. Por exemplo, em Python, usando a biblioteca numpy, podemos fazer:
import numpy as np
n = 1000  # número de observações
lambda_val = 3  # valor de lambda
dados = np.random.poisson(lam=lambda_val, size=n)
Aqui, estamos gerando 1000 observações com lambda = 3.

Passo 4

Depois de gerar os dados, vamos construir a distribuição empírica. Isso significa contar a frequência de cada valor observado nos dados. Podemos usar um histograma para visualizar isso. No mesmo código, podemos usar matplotlib para plotar:
import matplotlib.pyplot as plt

# Histograma da distribuição empírica
plt.hist(dados, bins=range(min(dados), max(dados)+1), density=True, alpha=0.6, color='g', label='Empírica')
Aqui, density=True normaliza o histograma para representar uma distribuição de probabilidade.

Passo 5

Agora, vamos plotar a distribuição teórica de Poisson sobre o histograma empírico para comparar. Calculamos a probabilidade teórica para cada valor de k e plotamos:
from scipy.stats import poisson

k_values = np.arange(min(dados), max(dados)+1)
prob_teorica = poisson.pmf(k_values, lambda_val)

plt.plot(k_values, prob_teorica, 'bo', ms=8, label='Teórica')
plt.vlines(k_values, 0, prob_teorica, colors='b', lw=2)
Isso adiciona pontos e linhas representando a função de probabilidade teórica da Poisson.

Passo 6

Finalizando, vamos ajustar os detalhes do gráfico e mostrar a comparação:
plt.xlabel('Número de eventos')
plt.ylabel('Probabilidade')
plt.title('Comparação entre Distribuição Empírica e Poisson Teórica')
plt.legend()
plt.show()
Esse passo ajusta os rótulos, o título e exibe a legenda para entender qual curva é qual.

Resposta

Após gerar 1000 observações de uma distribuição de Poisson com lambda = 3, a distribuição empírica construída a partir dos dados se alinha bem com a distribuição teórica de Poisson. Os histogramas e as curvas de probabilidade mostram que os valores observados seguem de perto o padrão esperado pela distribuição de Poisson, indicando que a modelagem está adequada.

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