Seja
uma v.a iid da distribuição de Poisson com parâmetro
.
Faça uma ilustração computacional e compare a distribuição empírica com a distribuição aproximada.
Faça uma ilustração computacional e compare a distribuição empírica com a distribuição aproximada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (iid) que seguem a distribuição de Poisson com parâmetro
. Nosso objetivo é fazer uma ilustração computacional, ou seja, usar o computador para visualizar os dados, e comparar a distribuição que a gente observa empiricamente com a distribuição teórica que a Poisson propõe. Para isso, vamos precisar entender a distribuição de Poisson, gerar os dados, e fazer os gráficos para comparar as duas distribuições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de ocorrências de um evento em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos acontecem com uma taxa média constante
e são independentes entre si. A função de probabilidade da Poisson é dada por:
Isso significa que a probabilidade de ocorrer exatamente
eventos em um intervalo é essa expressão.
Passo 3
Agora, vamos para a parte computacional. Primeiro, precisamos gerar
observações de uma variável aleatória que segue a distribuição de Poisson com parâmetro
. Em muitas linguagens de programação, como Python ou R, existem funções prontas para isso. Por exemplo, em Python, usando a biblioteca
numpy
, podemos fazer:import numpy as np
n = 1000 # número de observações
lambda_val = 3 # valor de lambda
dados = np.random.poisson(lam=lambda_val, size=n)
Aqui, estamos gerando 1000 observações com
.
Passo 4
Depois de gerar os dados, vamos construir a distribuição empírica. Isso significa contar a frequência de cada valor observado nos dados. Podemos usar um histograma para visualizar isso. No mesmo código, podemos usar
matplotlib
para plotar:import matplotlib.pyplot as plt
# Histograma da distribuição empírica
plt.hist(dados, bins=range(min(dados), max(dados)+1), density=True, alpha=0.6, color='g', label='Empírica')
Aqui,
density=True
normaliza o histograma para representar uma distribuição de probabilidade.Passo 5
Agora, vamos plotar a distribuição teórica de Poisson sobre o histograma empírico para comparar. Calculamos a probabilidade teórica para cada valor de
e plotamos:
from scipy.stats import poisson
k_values = np.arange(min(dados), max(dados)+1)
prob_teorica = poisson.pmf(k_values, lambda_val)
plt.plot(k_values, prob_teorica, 'bo', ms=8, label='Teórica')
plt.vlines(k_values, 0, prob_teorica, colors='b', lw=2)
Isso adiciona pontos e linhas representando a função de probabilidade teórica da Poisson.
Passo 6
Finalizando, vamos ajustar os detalhes do gráfico e mostrar a comparação:
plt.xlabel('Número de eventos')
plt.ylabel('Probabilidade')
plt.title('Comparação entre Distribuição Empírica e Poisson Teórica')
plt.legend()
plt.show()
Esse passo ajusta os rótulos, o título e exibe a legenda para entender qual curva é qual.
Resposta
Após gerar 1000 observações de uma distribuição de Poisson com
, a distribuição empírica construída a partir dos dados se alinha bem com a distribuição teórica de Poisson. Os histogramas e as curvas de probabilidade mostram que os valores observados seguem de perto o padrão esperado pela distribuição de Poisson, indicando que a modelagem está adequada.