A probabilidade que um jogador de basquete acerte uma cesta é
. Se ele realizar 20 arremessos qual é a probabilidade dele acertar pelo menos 9 ? Obtenha a probabilidade exata usando a distribuição Binomial e uma aproximação usando o Teorema Central do Limite. Resposta: Exata 0.7483, aproximada 0.8133 .
Passo 1
Então, galera, a gente tem um jogador de basquete que tem 50% de chance de acertar cada arremesso (
). Ele vai fazer 20 arremessos, e a gente quer saber a probabilidade dele acertar pelo menos 9 dessas tentativas. Para resolver isso, vamos usar a distribuição Binomial pra calcular a probabilidade exata e o Teorema Central do Limite pra fazer uma aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade exata usando a distribuição Binomial. A distribuição Binomial é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades de resultado (acertar ou errar, nesse caso). A fórmula é:
Onde:
-
(número de arremessos) -
é o número de acertos que queremos -
(probabilidade de acertar cada arremesso)
Queremos a probabilidade de acertar pelo menos 9 arremessos, ou seja,
. Isso é a soma das probabilidades de acertar 9, 10, …, até 20 arremessos.
Passo 3
Agora, vamos fazer a soma:
Calculando cada termo dessa soma e somando todos, obtemos a probabilidade exata.
Passo 4
Fazendo os cálculos (geralmente com a ajuda de uma calculadora ou software estatístico), encontramos que:
Passo 5
Agora, vamos usar o Teorema Central do Limite para aproximar essa probabilidade. Esse teorema nos diz que, para um número grande de tentativas, a distribuição Binomial pode ser aproximada por uma distribuição Normal com média
e variância
.
Calculando:
Passo 6
Agora, queremos encontrar
. Para a distribuição Normal, fazemos a correção de continuidade:
Calculando o valor z:
Usando a tabela da Normal padrão, encontramos a probabilidade correspondente e então:
Resposta
Exata
, aproximada
.