A probabilidade que um jogador de basquete acerte uma cesta é p=0.5. Se ele realizar 20 arremessos qual é a probabilidade dele acertar pelo menos 9 ? Obtenha a probabilidade exata usando a distribuição Binomial e uma aproximação usando o Teorema Central do Limite. Resposta: Exata 0.7483, aproximada 0.8133 .

Passo 1

Então, galera, a gente tem um jogador de basquete que tem 50% de chance de acertar cada arremesso ( p = 0.5). Ele vai fazer 20 arremessos, e a gente quer saber a probabilidade dele acertar pelo menos 9 dessas tentativas. Para resolver isso, vamos usar a distribuição Binomial pra calcular a probabilidade exata e o Teorema Central do Limite pra fazer uma aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade exata usando a distribuição Binomial. A distribuição Binomial é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades de resultado (acertar ou errar, nesse caso). A fórmula é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • n = 20 (número de arremessos)
  • k é o número de acertos que queremos
  • p = 0.5 (probabilidade de acertar cada arremesso)
Queremos a probabilidade de acertar pelo menos 9 arremessos, ou seja, P(X >= 9). Isso é a soma das probabilidades de acertar 9, 10, …, até 20 arremessos.

Passo 3

Agora, vamos fazer a soma:
P(X >= 9) = sumk=9^20 binom20k (0.5)^k (0.5)^20-k
Calculando cada termo dessa soma e somando todos, obtemos a probabilidade exata.

Passo 4

Fazendo os cálculos (geralmente com a ajuda de uma calculadora ou software estatístico), encontramos que:
P(X >= 9) approx 0.7483

Passo 5

Agora, vamos usar o Teorema Central do Limite para aproximar essa probabilidade. Esse teorema nos diz que, para um número grande de tentativas, a distribuição Binomial pode ser aproximada por uma distribuição Normal com média mu = n p e variância sigma^2 = n p (1-p).
Calculando:
mu = 20 times 0.5 = 10
sigma = raiz20 times 0.5 times 0.5 = raiz5 approx 2.236

Passo 6

Agora, queremos encontrar P(X >= 9). Para a distribuição Normal, fazemos a correção de continuidade:
P(X >= 8.5)
Calculando o valor z:
z = 8.5 - 102.236 approx -0.67
Usando a tabela da Normal padrão, encontramos a probabilidade correspondente e então:
P(X >= 9) approx 0.8133

Resposta

Exata 0.7483, aproximada 0.8133.

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