Seja Y1, ldots, Yn uma v.a iid da distribuição de Poisson com parâmetro lambda.
Mostre que a média amostral converge em probabilidade para lambda quando n infty.

Passo 1

Então, a gente tem um problema onde são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (iid) com distribuição de Poisson e parâmetro . O que a gente precisa mostrar é que a média dessa amostra ( ) converge em probabilidade para quando o tamanho da amostra cresce para o infinito. Basicamente, vamos usar conceitos da teoria das probabilidades, como a Lei dos Grandes Números e propriedades da distribuição de Poisson, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a média amostral. A média amostral barY = 1n sumi=1^n Yi é calculada assim:
Isso significa que a gente soma todos os valores das variáveis aleatórias e divide pelo número total de observações .

Passo 3

Agora, para mostrar que converge em probabilidade para , vamos usar a Lei dos Grandes Números. Essa lei nos diz que, quando temos uma sequência de variáveis aleatórias iid com média e variância , a média amostral vai se aproximar de conforme cresce.

Passo 4

Vamos verificar as propriedades da distribuição de Poisson. Para uma variável aleatória E[Y] = lambda e Var(Y) = lambda com distribuição de Poisson e parâmetro , temos:
Ou seja, a média e a variância da distribuição de Poisson são ambas iguais a .

Passo 5

Como as E[barY] = lambda e Var(barY) = lambdan são iid, todas têm a mesma média e a mesma variância . Portanto, a média amostral tem:
Isso porque a variância da média amostral é a variância individual dividida por .

Passo 6

Para mostrar a convergência em probabilidade, vamos usar a Desigualdade de Chebyshev. Ela afirma que para qualquer P( | barY - lambda | >= epsilon ) <= Var(barY)epsilon^2 = lambdan epsilon^2 :
Isso quer dizer que a probabilidade de a média amostral estar a pelo menos de é limitada por .

Passo 7

Observando o limite quando limn to infty lambdan epsilon^2 = 0 tende ao infinito:
limn to infty P( | barY - lambda | >= epsilon ) = 0
Portanto, temos que:
Isso significa que a probabilidade de se afastar de por pelo menos se torna zero conforme aumenta.

Resposta

Assim, concluímos que a média amostral converge em probabilidade para quando tende ao infinito.

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