Seja uma v.a iid da distribuição de Poisson com parâmetro .
Mostre que a média amostral converge em probabilidade para quando .
Passo 1
Então, a gente tem um problema onde são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (iid) com distribuição de Poisson e parâmetro . O que a gente precisa mostrar é que a média dessa amostra () converge em probabilidade para quando o tamanho da amostra cresce para o infinito. Basicamente, vamos usar conceitos da teoria das probabilidades, como a Lei dos Grandes Números e propriedades da distribuição de Poisson, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a média amostral. A média amostral é calculada assim:
Isso significa que a gente soma todos os valores das variáveis aleatórias e divide pelo número total de observações .
Passo 3
Agora, para mostrar que converge em probabilidade para , vamos usar a Lei dos Grandes Números. Essa lei nos diz que, quando temos uma sequência de variáveis aleatórias iid com média e variância , a média amostral vai se aproximar de conforme cresce.
Passo 4
Vamos verificar as propriedades da distribuição de Poisson. Para uma variável aleatória com distribuição de Poisson e parâmetro , temos:
Ou seja, a média e a variância da distribuição de Poisson são ambas iguais a .
Passo 5
Como as são iid, todas têm a mesma média e a mesma variância . Portanto, a média amostral tem:
Isso porque a variância da média amostral é a variância individual dividida por .
Passo 6
Para mostrar a convergência em probabilidade, vamos usar a Desigualdade de Chebyshev. Ela afirma que para qualquer :
Isso quer dizer que a probabilidade de a média amostral estar a pelo menos de é limitada por .
Passo 7
Observando o limite quando limn to infty lambdan epsilon^2 = 0 tende ao infinito: