Considere que os termos da sequência seguinte foram sucessivamente obtidos segundo determinado padrão: (3,7,15,31,63,127,255,…). O décimo termo dessa sequência é:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência de números: (3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, …). O que a gente precisa descobrir é qual é o décimo termo dessa sequência. Para isso, vamos usar conceitos de sequências numéricas e progressões geométricas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos observar os termos que a gente já tem: 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255. Parece que cada número está dobrando e somando um, certo? Por exemplo:
- 3 * 2 + 1 = 7
- 7 * 2 + 1 = 15
- 15 * 2 + 1 = 31
E assim por diante.
Passo 3
Viu como cada termo é o dobro do anterior mais 1? Isso nos dá uma pista: a sequência está seguindo uma progressão geométrica onde a cada passo multiplicamos por 2 e adicionamos 1. Mas para facilitar, podemos expressar cada termo usando uma fórmula geral.
Passo 4
Vamos tentar encontrar uma fórmula para o n-ésimo termo da sequência. Notamos que:
- 3 = 2² - 1
- 7 = 2³ - 1
- 15 = 2⁴ - 1
- 31 = 2⁵ - 1
E assim por diante.
Passo 5
Percebemos que o n-ésimo termo pode ser representado pela fórmula:
Onde $ a_n $ é o n-ésimo termo da sequência.
Passo 6
Agora, queremos encontrar o décimo termo, ou seja, $ a_{10} $. Vamos substituir $ n = 10 $ na nossa fórmula:
Passo 7
Calculando a potência:
Passo 8
Subtraindo 1:
Resposta
O décimo termo da sequência é 2047.