Considere que os termos da sequência seguinte foram sucessivamente obtidos segundo determinado padrão: (3,7,15,31,63,127,255,…). O décimo termo dessa sequência é:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência de números: (3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, …). O que a gente precisa descobrir é qual é o décimo termo dessa sequência. Para isso, vamos usar conceitos de sequências numéricas e progressões geométricas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos observar os termos que a gente já tem: 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255. Parece que cada número está dobrando e somando um, certo? Por exemplo:
  • 3 * 2 + 1 = 7
  • 7 * 2 + 1 = 15
  • 15 * 2 + 1 = 31
    E assim por diante.

Passo 3

Viu como cada termo é o dobro do anterior mais 1? Isso nos dá uma pista: a sequência está seguindo uma progressão geométrica onde a cada passo multiplicamos por 2 e adicionamos 1. Mas para facilitar, podemos expressar cada termo usando uma fórmula geral.

Passo 4

Vamos tentar encontrar uma fórmula para o n-ésimo termo da sequência. Notamos que:
  • 3 = 2² - 1
  • 7 = 2³ - 1
  • 15 = 2⁴ - 1
  • 31 = 2⁵ - 1
    E assim por diante.

Passo 5

Percebemos que o n-ésimo termo pode ser representado pela fórmula:
an = 2^n+1 - 1
Onde $ a_n $ é o n-ésimo termo da sequência.

Passo 6

Agora, queremos encontrar o décimo termo, ou seja, $ a_{10} $. Vamos substituir $ n = 10 $ na nossa fórmula:
a10

Passo 7

Calculando a potência:
2^11 = 2048

Passo 8

Subtraindo 1:
2048 - 1 = 2047

Resposta

O décimo termo da sequência é 2047.

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