Considere o teste de hipótese H0: mu1=mu2 contra H1: mu1. Suponha que os tamanhos de amostra sejam n1=15 e n2=15, que x1=6,2 e x2=7,8 e que s1^2=4 e s2^2=6,25. Considere que sigma1^2=sigma2^2 e que os dados sejam retirados de distribuições normais. Use alpha=0,05.
a) Teste a hipótese e encontre o valor P

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse teste de hipótese juntos! A questão é sobre comparar as médias de dois grupos para ver se realmente há uma diferença entre elas. Vamos usar estatística inferencial, especificamente o teste t para duas amostras independentes. Precisaremos das médias das amostras, dos tamanhos das amostras, das variâncias e do nível de significância que é 0,05.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses:
  • Hipótese nula ( H0): As médias são iguais, ou seja, mu1 = mu2.
  • Hipótese alternativa ( H1): A média do primeiro grupo é menor que a média do segundo, mu1 < mu2.

Passo 3

Como assumimos que as variâncias populacionais são iguais ( sigma1^2 = sigma2^2) e que as amostras são independentes e tiradas de distribuições normais, podemos usar o teste t para duas amostras com variâncias iguais.

Passo 4

Vamos calcular a estatística do teste t usando a seguinte fórmula:
t = x1 - x2sp raiz1n1 + 1n2
onde sp é a variância combinada (variância pool):
sp = raiz(n1 - 1)s1^2 + (n2 - 1)s2^2n1 + n2 - 2

Passo 5

Vamos calcular sp primeiro:
sp = raiz(15 - 1) times 4 + (15 - 1) times 6,2515 + 15 - 2 = raiz14 times 4 + 14 times 6,2528 = raiz56 + 87,528 = raiz143,528 approx raiz5,125 approx 2,264

Passo 6

Agora, calculamos o valor de t:
t = 6,2 - 7,82,264 raiz115 + 115 = -1,62,264 times raiz215 approx -1,62,264 times 0,3651 approx -1,60,826 approx -1,936

Passo 7

Com o valor de t calculado, vamos encontrar o valor P. Como a hipótese alternativa é mu1 < mu2, estamos fazendo um teste unilateral à esquerda. Usando a tabela t de Student com graus de liberdade df = n1 + n2 - 2 = 28, procuramos a probabilidade de obter um valor t menor que -1,936.

Passo 8

Consultando a tabela t ou usando uma calculadora estatística, encontramos que o valor P correspondente a t = -1,936 com 28 graus de liberdade é aproximadamente P = 0,033.

Resposta

O valor P é aproximadamente 0,033.

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