Considere o teste de hipótese H0: mu1=mu2 contra H1: mu1. Suponha que os tamanhos de amostra sejam n1=15 e n2=15, que x1=6,2 e x2=7,8 e que s1^2=4 e s2^2=6,25. Considere que sigma1^2=sigma2^2 e que os dados sejam retirados de distribuições normais. Use alpha=0,05.
b) Explique como o teste poderia ser conduzido com um intervalo de confiança.

Passo 1

Neste exercício, vamos trabalhar com um teste de hipótese para comparar duas médias, assumindo que as variâncias são iguais e que os dados seguem distribuições normais. Precisamos explicar como conduzir o teste H0: mu1 = mu2 contra H1: mu1 < mu2 utilizando um intervalo de confiança, com os dados fornecidos sobre as médias, variâncias amostrais, tamanhos das amostras e nível de significância alpha = 0,05.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre o teste de hipótese e o intervalo de confiança. Quando construímos um intervalo de confiança para a diferença das médias mu2 - mu1, se esse intervalo não incluir o valor especificado na hipótese nula (neste caso, 0), isso nos dá evidências para rejeitar H0 em favor de H1.

Passo 3

Vamos calcular um intervalo de confiança de 95% para a diferença das médias mu2 - mu1. Como as variâncias são iguais e as amostras são pequenas, usaremos a distribuição t de Student.

Passo 4

Primeiro, calculamos a diferença das médias amostrais:
x2 - x1 = 7,8 - 6,2 = 1,6

Passo 5

Calculamos a variância combinada (pooled variance):
sp^2 = (n1 - 1)s1^2 + (n2 - 1)s2^2n1 + n2 - 2 = (15 - 1) times 4 + (15 - 1) times 6,2515 + 15 - 2 = 56 + 87,528 approx 5,125

Passo 6

Calculamos o erro padrão da diferença das médias:
SE = raizsp^2n1 + sp^2n2 = raiz5,12515 + 5,12515 = raiz10,2515 approx 0,8267

Passo 7

Encontramos o valor crítico talpha para df = n1 + n2 - 2 = 28 e alpha = 0,05 em um teste unilateral. Consultando a tabela t, temos t0,05,28 approx 1,701.

Passo 8

Construímos o intervalo de confiança unilateral inferior:
IC = x2 - x1 - talpha times SE = 1,6 - 1,701 times 0,8267 approx 1,6 - 1,407 approx 0,193
Então, o intervalo de confiança é aproximadamente (0,193, +infty).

Passo 9

Como o intervalo de confiança para mu2 - mu1 é (0,193, +infty) e 0 não está incluído nesse intervalo, temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula H0 em favor de H1 com nível de significância alpha = 0,05.

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a diferença das médias é aproximadamente (0,193, +infty). Como 0 não está incluído neste intervalo, rejeitamos a hipótese nula H0: mu1 = mu2 em favor de H1: mu1 < mu2 com nível de significância alpha = 0,05.

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