Considere o teste de hipóteses H0: mu1=mu2 contra H1: mu1 neq mu2, com variâncias conhecidas sigma1=10 e sigma2=5. Suponha que os tamanhos de amostra sejam n1=10 e n2=15 e que x1=4,7 e x2=7,8. Use alpha=0,05
b) Explique como o teste poderia ser conduzido com um intervalo de confiança.

Passo 1

Vamos resolver a parte b) do exercício. Aqui, precisamos entender como realizar um teste de hipóteses usando um intervalo de confiança. O conteúdo envolvido inclui testes de hipóteses sobre a diferença entre duas médias com variâncias conhecidas. Para isso, vamos precisar calcular um intervalo de confiança para a diferença entre as médias das duas populações e verificar se esse intervalo contém o valor da hipótese nula, que é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um intervalo de confiança. Um intervalo de confiança nos dá um intervalo de valores plausíveis para o parâmetro que estamos tentando estimar, no caso, a diferença entre as médias das duas populações ( mu1 - mu2). Se o intervalo de confiança para essa diferença não contiver o valor especificado na hipótese nula ( H0: mu1 = mu2, ou seja, mu1 - mu2 = 0), rejeitamos a hipótese nula.

Passo 3

Vamos calcular o intervalo de confiança para a diferença entre as médias x1 - x2. Como as variâncias são conhecidas, usamos a fórmula do intervalo de confiança para a diferença de médias:
(x1 - x2) pm zalpha/2 cdot raizsigma1^2n1 + sigma2^2n2
Onde:
  • x1 = 4,7 e x2 = 7,8 são as médias das amostras.
  • sigma1 = 10 e sigma2 = 5 são as variâncias conhecidas.
  • n1 = 10 e n2 = 15 são os tamanhos das amostras.
  • zalpha/2 é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado. Como alpha = 0,05, temos alpha/2 = 0,025 e z0,025 approx 1,96.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da diferença das médias:
raizsigma1^2n1 + sigma2^2n2 = raiz10^210 + 5^215 = raiz10010 + 2515 = raiz10 + 53 = raiz353 approx 3,415
Agora, calculamos o intervalo de confiança:
(4,7 - 7,8) pm 1,96 cdot 3,415
-3,1 pm 6,691
Isso resulta em:
(-3,1 - 6,691, -3,1 + 6,691) Rightarrow (-9,791, 3,591)

Passo 5

Agora, verificamos se o valor da hipótese nula ( 0) está dentro desse intervalo de confiança. Como 0 está dentro do intervalo (-9,791, 3,591), não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Ao construir o intervalo de confiança para a diferença entre as médias e verificar que ele contém o valor zero, concluímos que não há evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula mu1 = mu2 com nível de significância de 0,05.

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