Considere o teste de hipóteses contra , com variâncias conhecidas e . Suponha que os tamanhos de amostra sejam e e que e . Use
b) Explique como o teste poderia ser conduzido com um intervalo de confiança.
Passo 1
Vamos resolver a parte b) do exercício. Aqui, precisamos entender como realizar um teste de hipóteses usando um intervalo de confiança. O conteúdo envolvido inclui testes de hipóteses sobre a diferença entre duas médias com variâncias conhecidas. Para isso, vamos precisar calcular um intervalo de confiança para a diferença entre as médias das duas populações e verificar se esse intervalo contém o valor da hipótese nula, que é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um intervalo de confiança. Um intervalo de confiança nos dá um intervalo de valores plausíveis para o parâmetro que estamos tentando estimar, no caso, a diferença entre as médias das duas populações (). Se o intervalo de confiança para essa diferença não contiver o valor especificado na hipótese nula (, ou seja, ), rejeitamos a hipótese nula.
Passo 3
Vamos calcular o intervalo de confiança para a diferença entre as médias . Como as variâncias são conhecidas, usamos a fórmula do intervalo de confiança para a diferença de médias:
Onde:
e são as médias das amostras.
e são as variâncias conhecidas.
e são os tamanhos das amostras.
é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado. Como , temos e .
Passo 4
Vamos calcular o erro padrão da diferença das médias:
Agora, calculamos o intervalo de confiança:
Isso resulta em:
Passo 5
Agora, verificamos se o valor da hipótese nula () está dentro desse intervalo de confiança. Como está dentro do intervalo , não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Ao construir o intervalo de confiança para a diferença entre as médias e verificar que ele contém o valor zero, concluímos que não há evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula com nível de significância de .