Considere o teste de hipóteses H0: mu1=mu2 contra H1: mu1 neq mu2, com variâncias conhecidas sigma1=10 e sigma2=5. Suponha que os tamanhos de amostra sejam n1=10 e n2=15 e que x1=4,7 e x2=7,8. Use alpha=0,05
a) Teste a hipótese e encontre o valor P.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta tá pedindo. Temos dois grupos com médias populacionais mu1 e mu2. A gente quer testar se essas médias são iguais ou diferentes usando um teste de hipóteses. Aqui, estamos usando um teste bilaterial, onde a hipótese nula é H0: mu1 = mu2 e a alternativa é H1: mu1 neq mu2. Vamos precisar das variâncias conhecidas ( sigma1=10 e sigma2=5), dos tamanhos das amostras ( n1=10 e n2=15), das médias amostrais ( x1=4,7 e x2=7,8) e do nível de significância ( alpha=0,05).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a diferença entre as médias amostrais: x1 - x2 = 4,7 - 7,8 = -3,1. Essa diferença vai nos ajudar a ver se é significativa ou não.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o erro padrão da diferença entre as médias. A fórmula é:
SE = raizsigma1^2n1 + sigma2^2n2
Vamos substituir os valores:
SE = raiz10^210 + 5^215 = raiz10010 + 2515 = raiz10 + 53 = raiz353 approx raiz11,6667 approx 3,416

Passo 4

Com a diferença das médias e o erro padrão, podemos calcular o valor do teste z:
z = x1 - x2 - (mu1 - mu2)SE
Sob a hipótese nula H0: mu1 = mu2, então mu1 - mu2 = 0. Assim:
z = -3,13,416 approx -0,907

Passo 5

Agora, vamos encontrar o valor P associado a esse z. Como o teste é bilaterial, precisamos calcular a probabilidade de Z ser menor que -0,907 ou maior que 0,907. Usamos a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora:
P = 2 times P(Z > |z|) = 2 times P(Z > 0,907)
Consultando a tabela, P(Z > 0,907) approx 0,182. Então:
P = 2 times 0,182 = 0,364

Resposta

O valor P é aproximadamente 0,364. Como 0,364 > 0,05, não rejeitamos a hipótese nula. Portanto, não há evidências suficientes para afirmar que as médias são diferentes.

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