0 diâmetro de bastões de aço, fabricados em duas maquinas extrusoras diferentes, esta sendo investigado. Duas amostras aleatórias de tamanhos n1=15 e n2=17 são selecionadas e as médias e variâncias das amostras são x1=8,73, s1^2=0,35, e x2=8,68 e s2^2=0,40, respectivamente. Suponha que sigma1^2=sigma2^2 e que os dados sejam retirados de uma população normal.
a) Há evidencia que confirme a afirmação de que as duas máquinas produzem bastões com diferentes diâmetros médios? Use alpha=0,05 para chegar a essa conclusão. Encontre 0 valor P.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta dois grupos de bastões de aço produzidos por duas máquinas diferentes. Queremos saber se há diferença nos diâmetros médios desses bastões entre as duas máquinas. Para isso, vamos usar um teste de hipóteses para duas médias, assumindo que as variâncias são iguais e que os dados seguem uma distribuição normal. Vamos precisar das médias, variâncias e tamanhos das duas amostras para fazer os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos formular as hipóteses que vamos testar:
  • Hipótese nula ( H0: mu1 = mu2 ): Não há diferença nos diâmetros médios dos bastões produzidos pelas duas máquinas.
    H1: mu1 neq mu2
  • Hipótese alternativa ( ): Há diferença nos diâmetros médios dos bastões produzidos pelas duas máquinas.
Estamos usando um teste bicaudal porque queremos verificar se há diferença em qualquer direção (maior ou menor).

Passo 3

Como estamos assumindo que as variâncias das duas populações são iguais e os dados seguem uma distribuição normal, podemos usar o teste t para duas amostras com variâncias iguais.

Passo 4

Vamos calcular a variância combinada ( Sp^2 = (n1 - 1)s1^2 + (n2 - 1)s2^2n1 + n2 - 2 ), que é uma média ponderada das variâncias das duas amostras:
Sp^2 = (15 - 1) times 0,35 + (17 - 1) times 0,4015 + 17 - 2 = 14 times 0,35 + 16 times 0,4030
Substituindo os valores fornecidos:
Sp^2 = 4,9 + 6,430 = 11,330 approx 0,3767

Passo 5

Agora, calculamos o erro padrão da diferença das médias ( SE = raizSp^2 ( 1n1 + 1n2 ) ) usando a variância combinada:
SE = raiz0,3767 ( 115 + 117 ) = raiz0,3767 ( 0,0667 + 0,0588 ) = raiz0,3767 times 0,1255 approx raiz0,0473 approx 0,2175
Substituindo os valores:

Passo 6

Com o erro padrão calculado, podemos encontrar o estatístico t:
t = x1 - x2SE
Substituindo os valores:
t = 8,73 - 8,680,2175 = 0,050,2175 approx 0,2299

Passo 7

Determina-se os graus de liberdade ( df = n1 + n2 - 2 = 15 + 17 - 2 = 30 ) para o teste:

Passo 8

Agora, vamos encontrar o valor P associado ao nosso valor de t. Como o teste é bicaudal, o valor P será:
P = 2 times P(T > |t|)
Usando uma tabela t ou uma calculadora estatística, com P approx 2 times 0,818 approx 1,636 e P approx 0,818 times 2 = 1,636 (ajustando para P máximo de 1) , encontramos que:
Mas como valores de P não podem ser maiores que 1, isso indica que:
á
Na verdade, para , o valor P seria aproximadamente 0,819.

Passo 9

Comparando o valor P com o nível de significância P approx 0,819 > 0,05 :
Como , não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Não há evidência suficiente para concluir que as duas máquinas produzem bastões com diâmetros médios diferentes. O valor P calculado é aproximadamente 0,819.

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