O fabricante de uma lâmpada especial afirma que o seu produto tem vida média de 1600 horas, com desvio padrão de 250 horas. O dono de uma empresa compra 100 lâmpadas desse fabricante. Supondo verdadeira a afirmação do fabricante, qual é a probabilidade de que a vida média dessas lâmpadas ultrapasse 1650 horas? Qual é a suposição necessária para calcular esta probabilidade?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um fabricante que diz que a vida média das lâmpadas é de 1600 horas, com um desvio padrão de 250 horas. O dono de uma empresa comprou 100 lâmpadas desse fabricante e quer saber qual a probabilidade de a média da vida dessas 100 lâmpadas ser maior que 1650 horas. Para resolver isso, vamos usar a estatística da média amostral e a distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma amostra grande (como 100 lâmpadas), a média das amostras tende a seguir uma distribuição normal, mesmo que a distribuição original não seja normal. Isso é graças ao Teorema Central do Limite. Então, podemos usar a distribuição normal para calcular nossa probabilidade.
Passo 3
Agora, vamos calcular o erro padrão da média. O erro padrão é o desvio padrão dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra. No nosso caso:
Passo 4
Em seguida, vamos padronizar a nossa média de 1650 horas usando a fórmula do valor z:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a probabilidade de z ser maior que 2. Consultando a tabela da distribuição normal ou usando uma calculadora, sabemos que a probabilidade de z ser menor que 2 é aproximadamente 0,9772. Então, a probabilidade de z ser maior que 2 é:
Passo 6
Portanto, a probabilidade de que a vida média das 100 lâmpadas ultrapasse 1650 horas é de aproximadamente 2,28%.
Resposta
A probabilidade de a vida média das 100 lâmpadas ultrapassar 1650 horas é de aproximadamente 2,28%. A suposição necessária para calcular essa probabilidade é que a distribuição das vidas das lâmpadas é normal ou que o tamanho da amostra é suficientemente grande para aplicar o Teorema Central do Limite.