Considere todos os anagramas da palavra TEORIA.
a) Quantos são?
b) Quantos começam por TEO?
c) Quantos têm as letras TEO juntas nessa ordem?
d) Quantos têm as letras TEO juntas em qualquer ordem?
e) Quantos têm as vogais juntas, em ordem alfabética, e as consoantes juntas, em qualquer ordem?
a) Quantos são?
b) Quantos começam por TEO?
c) Quantos têm as letras TEO juntas nessa ordem?
d) Quantos têm as letras TEO juntas em qualquer ordem?
e) Quantos têm as vogais juntas, em ordem alfabética, e as consoantes juntas, em qualquer ordem?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar todos os anagramas da palavra TEORIA. Um anagrama é basicamente uma rearrumação das letras de uma palavra para formar outras palavras ou combinações. Aqui, vamos usar conceitos de arranjo e permutação da matéria de combinatória. Vamos precisar lembrar como calcular o número de maneiras de organizar as letras, considerando possíveis repetições e restrições dadas pelos itens de a) a e).
Passo 2
a) Quantos são?
Primeiro, vamos descobrir quantos anagramas diferentes podemos formar com a palavra TEORIA.
A palavra TEORIA tem 6 letras, todas diferentes. Para calcular o número total de anagramas, usamos a permutação de todas as letras:
Passo 3
b) Quantos começam por TEO?
Agora, queremos saber quantos anagramas começam exatamente com as letras “TEO”.
Como as três primeiras letras já estão fixas (T, E, O), restam 3 letras para serem organizadas nas posições restantes. Então, calculamos as permutações dessas 3 letras:
Passo 4
c) Quantos têm as letras TEO juntas nessa ordem?
Aqui, queremos que as letras T, E e O apareçam juntas nessa ordem específica dentro do anagrama.
Podemos pensar em “TEO” como um único bloco. Assim, temos esse bloco mais as outras 3 letras (R, I, A), totalizando 4 “elementos” para organizar:
Como a ordem dentro do bloco já está fixada, não precisamos multiplicar por nada mais.
Passo 5
d) Quantos têm as letras TEO juntas em qualquer ordem?
Agora, as letras T, E e O devem estar juntas, mas a ordem delas pode variar.
Primeiro, consideramos o bloco das 3 letras juntas. Temos 4 elementos para organizar (o bloco + R, I, A):
Dentro do bloco, as 3 letras T, E e O podem ser arranjadas de:
Então, o total de anagramas é:
Passo 6
e) Quantos têm as vogais juntas, em ordem alfabética, e as consoantes juntas, em qualquer ordem?
Vamos identificar as vogais e consoantes na palavra TEORIA:
- Vogais: E, O, I, A
- Consoantes: T, R
Queremos que as vogais estejam juntas em ordem alfabética (A, E, I, O) e as consoantes estejam juntas em qualquer ordem.
Primeiro, tratamos as vogais como um único bloco já que devem estar juntas e em ordem fixa:
- Bloco de vogais: A, E, I, O (apenas 1 maneira, já que a ordem está fixa)
Agora, temos dois “elementos” para as consoantes (T e R), que podem ser organizadas de:
Finalmente, juntamos o bloco de vogais com as consoantes. Podemos organizar esses dois “grupos” de:
Então, o total de anagramas é:
Resposta
a) 720 anagramas
b) 6 anagramas começam por TEO
c) 24 anagramas têm as letras TEO juntas nessa ordem
d) 144 anagramas têm as letras TEO juntas em qualquer ordem
e) 4 anagramas têm as vogais juntas, em ordem alfabética, e as consoantes juntas em qualquer ordem