Encontre o polinômio característico cT(x) do operador T: P2 P2 dado por
T(a+b x+c x^2)=(b+c)+(a+c) x+(a+b) x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio característico T(a + b x + c x^2) = (b + c) + (a + c) x + (a + b) x^2 de um operador linear que atua no espaço dos polinômios de grau até 2, ou seja, . O operador está definido por:
Para isso, vamos precisar entender como representar esse operador em forma de matriz e depois calcular o polinômio característico a partir dessa matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador T(1) = T(1 + 0x + 0x^2) = (0 + 0) + (1 + 0)x + (1 + 0)x^2 = 0 + 1x + 1x^2 = x + x^2 como uma matriz. Para isso, escolhemos uma base para T(x) = T(0 + 1x + 0x^2) = (1 + 0) + (0 + 0)x + (0 + 1)x^2 = 1 + 0x + 1x^2 = 1 + x^2 . A base padrão é T(x^2) = T(0 + 0x + 1x^2) = (0 + 1) + (0 + 1)x + (0 + 0)x^2 = 1 + x + 0x^2 = 1 + x . Vamos ver como [T] = 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 age sobre cada um desses vetores da base.
  1. Aplicando em (ou seja, , , ):
  1. Aplicando em (ou seja, , , ):
  1. Aplicando em (ou seja, , , ):
Agora, colocamos esses resultados como colunas na matriz de :

Passo 3

Com a matriz cA(x) = det(xI - A) em mãos, podemos calcular o polinômio característico xI - [T] = x & 0 & 0 0 & x & 0 0 & 0 & x - 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 = x & -1 & -1 -1 & x & -1 -1 & -1 & x . O polinômio característico de uma matriz det(xI - [T]) = x & -1 & -1 -1 & x & -1 -1 & -1 & x é dado por:
det(xI - [T]) = x cdot x & -1 -1 & x - (-1) cdot -1 & -1 -1 & x + (-1) cdot -1 & x -1 & -1
onde x & -1 -1 & x = x cdot x - (-1) cdot (-1) = x^2 - 1 é a matriz identidade e -1 & -1 -1 & x = (-1) cdot x - (-1) cdot (-1) = -x - 1 representa o determinante.
Vamos calcular -1 & x -1 & -1 = (-1) cdot (-1) - x cdot (-1) = 1 + x :

[
xI - [T] = det(xI - [T]) = x(x^2 - 1) - (-1)(-x - 1) + (-1)(1 + x) = x^3 - x - (x + 1) - (1 + x)

x^3 - x - x - 1 - 1 - x = x^3 - 3x - 2


]
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Podemos expandir esse determinante usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos utilizar a expansão por cofatores para facilitar:
Calculando cada menor:
Substituindo de volta:
Simplificando:

Resposta

O polinômio característico de é .

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