Encontre o polinômio característico do operador dado por

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio característico de um operador linear que atua no espaço dos polinômios de grau até 2, ou seja, . O operador está definido por:
Para isso, vamos precisar entender como representar esse operador em forma de matriz e depois calcular o polinômio característico a partir dessa matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador como uma matriz. Para isso, escolhemos uma base para . A base padrão é . Vamos ver como age sobre cada um desses vetores da base.
  1. Aplicando em (ou seja, , , ):
  1. Aplicando em (ou seja, , , ):
  1. Aplicando em (ou seja, , , ):
Agora, colocamos esses resultados como colunas na matriz de :

Passo 3

Com a matriz em mãos, podemos calcular o polinômio característico . O polinômio característico de uma matriz é dado por:
onde é a matriz identidade e representa o determinante.
Vamos calcular :

[
xI - [T] =


]
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Podemos expandir esse determinante usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos utilizar a expansão por cofatores para facilitar:
Calculando cada menor:
Substituindo de volta:
Simplificando:

Resposta

O polinômio característico de é .

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