Encontre o polinômio característico do operador dado por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio característico de um operador linear que atua no espaço dos polinômios de grau até 2, ou seja, . O operador está definido por:
Para isso, vamos precisar entender como representar esse operador em forma de matriz e depois calcular o polinômio característico a partir dessa matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador como uma matriz. Para isso, escolhemos uma base para . A base padrão é . Vamos ver como age sobre cada um desses vetores da base.
Aplicando em (ou seja, , , ):
Aplicando em (ou seja, , , ):
Aplicando em (ou seja, , , ):
Agora, colocamos esses resultados como colunas na matriz de :
Passo 3
Com a matriz cA(x) = det(xI - A) em mãos, podemos calcular o polinômio característico xI - [T] = x & 0 & 0 0 & x & 0 0 & 0 & x - 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 = x & -1 & -1 -1 & x & -1 -1 & -1 & x . O polinômio característico de uma matriz det(xI - [T]) = x & -1 & -1 -1 & x & -1 -1 & -1 & x é dado por:
det(xI - [T]) = x cdot x & -1 -1 & x - (-1) cdot -1 & -1 -1 & x + (-1) cdot -1 & x -1 & -1
onde x & -1 -1 & x = x cdot x - (-1) cdot (-1) = x^2 - 1 é a matriz identidade e -1 & -1 -1 & x = (-1) cdot x - (-1) cdot (-1) = -x - 1 representa o determinante.
Vamos calcular -1 & x -1 & -1 = (-1) cdot (-1) - x cdot (-1) = 1 + x :