Considere a transformação linear T: P2(R) R^3 definida por T(a t^2+b t+c)=(a, a+b+c, c).
Calcule T^-1(a, b, c).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre transformações lineares, que fazem parte da matéria de Álgebra Linear. Precisamos encontrar a transformação inversa da transformação dada. Para isso, vamos precisar entender como funciona e como reverter esse processo para achar o polinômio que corresponde a cada vetor em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a transformação T(p(t)) = T(at^2 + bt + c) = (a, a + b + c, c) . Ela pega um polinômio do segundo grau da forma e mapeia para um vetor em dessa maneira:
Aqui, cada componente do vetor resultante é uma combinação dos coeficientes , e do polinômio.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a transformação inversa , ou seja, dado um vetor em , precisamos descobrir qual polinômio foi transformado para esse vetor.

Passo 4

Para isso, vamos igualar os componentes da transformação T(p(t)) = (a, a + b + c, c) = (a', b', c') ao vetor a' = a :
a' + b' + c' = b
Assim, temos as seguintes equações:
c' = c

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os coeficientes a + b' + c = b implies b' = b - a - c , e :
  1. Já sabemos que e .
  2. Substituindo na segunda equação:

Passo 6

Com os valores encontrados, podemos expressar o polinômio p(t) = a' t^2 + b' t + c' = a t^2 + (b - a - c) t + c correspondente:

Resposta

A transformação inversa é dada por:
T^-1(a, b, c) = a t^2 + (b - a - c) t + c

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