Considere a transformação linear
definida por
.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre transformações lineares, que fazem parte da matéria de Álgebra Linear. Precisamos encontrar a transformação inversa
da transformação
dada. Para isso, vamos precisar entender como
funciona e como reverter esse processo para achar o polinômio que corresponde a cada vetor em
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a transformação
. Ela pega um polinômio do segundo grau da forma
e mapeia para um vetor em
dessa maneira:
Aqui, cada componente do vetor resultante é uma combinação dos coeficientes
,
e
do polinômio.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a transformação inversa
, ou seja, dado um vetor
em
, precisamos descobrir qual polinômio
foi transformado para esse vetor.
Passo 4
Para isso, vamos igualar os componentes da transformação
ao vetor
:
Assim, temos as seguintes equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os coeficientes
,
e
:
- Já sabemos que
e . - Substituindo na segunda equação:
Passo 6
Com os valores encontrados, podemos expressar o polinômio
correspondente:
Resposta
A transformação inversa é dada por: