Considere a transformação linear definida por .
Calcule .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre transformações lineares, que fazem parte da matéria de Álgebra Linear. Precisamos encontrar a transformação inversa da transformação dada. Para isso, vamos precisar entender como funciona e como reverter esse processo para achar o polinômio que corresponde a cada vetor em .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a transformação . Ela pega um polinômio do segundo grau da forma e mapeia para um vetor em dessa maneira:
Aqui, cada componente do vetor resultante é uma combinação dos coeficientes , e do polinômio.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a transformação inversa , ou seja, dado um vetor em , precisamos descobrir qual polinômio foi transformado para esse vetor.
Passo 4
Para isso, vamos igualar os componentes da transformação ao vetor :
Assim, temos as seguintes equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os coeficientes , e :
Já sabemos que e .
Substituindo na segunda equação:
Passo 6
Com os valores encontrados, podemos expressar o polinômio correspondente: