Considere a transformação linear definida por .
Encontre os autovalores de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores de uma transformação linear definida por . Para isso, vamos trabalhar com matrizes e entender um pouco sobre autovalores, que são valores especiais associados a uma matriz que mostram como ela “alonga” ou “encolhe” vetores. Vamos precisar montar a matriz da transformação, calcular o polinômio característico e resolver uma equação para encontrar os autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a transformação linear como uma matriz. Quando temos , isso corresponde à matriz:
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores, precisamos calcular o polinômio característico da matriz . O polinômio característico é dado por , onde é a matriz identidade e representa os autovalores que queremos encontrar.
Passo 4
Vamos montar a matriz :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Expandindo a multiplicação:
Assim, temos:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a equação para encontrar os valores de . Vamos resolver essa equação quadrática.