Considere a transformação linear definida por .
Encontre os autovalores de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores de uma transformação linear definida por . Para isso, vamos trabalhar com matrizes e entender um pouco sobre autovalores, que são valores especiais associados a uma matriz que mostram como ela “alonga” ou “encolhe” vetores. Vamos precisar montar a matriz da transformação, calcular o polinômio característico e resolver uma equação para encontrar os autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a transformação linear como uma matriz. Quando temos , isso corresponde à matriz:

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores, precisamos calcular o polinômio característico da matriz . O polinômio característico é dado por , onde é a matriz identidade e representa os autovalores que queremos encontrar.

Passo 4

Vamos montar a matriz :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Expandindo a multiplicação:
Assim, temos:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a equação para encontrar os valores de . Vamos resolver essa equação quadrática.
Podemos fatorar a equação:
Assim, as soluções são:

Resposta

Os autovalores da transformação são e .

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Sejam e bases do tais que e .
(a) Determine a matriz de mudança de base, da base para a base .
Determine o posto de cada uma das matrizes abaixo e diga quals delas são equivalentes à matriz identidade.
Seja um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno. Mostre que existe uma base ortonormal de .
Determine o valor de de modo que o sistema
seja:
impossível.