Determine o posto de cada uma das matrizes abaixo e diga quals delas são equivalentes à matriz identidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente descobrir o posto da matriz e ver quais matrizes são equivalentes à matriz identidade. O posto de uma matriz é como se fosse o número máximo de linhas ou colunas que são independentes entre si. Para resolver isso, vamos usar operações de linha para simplificar a matriz e identificar seu posto. Também vamos comparar com a matriz identidade para ver se são equivalentes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz :

Passo 3

O próximo passo é transformar essa matriz em uma forma mais simples, chamada de forma escalonada, usando operações elementares de linha (como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha a outra). Isso facilita identificar o posto da matriz.

Passo 4

Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna:
  1. Manter a primeira linha igual.
  2. Subtrair 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
  3. Adicionar a primeira linha à terceira linha:
Aplicando essas operações:

Passo 5

Agora, vamos simplificar mais a matriz. Queremos que o segundo elemento da segunda linha seja 1. Então, multiplicamos a segunda linha por -1:
Isso nos dá:

Passo 6

Perceba que a terceira linha ficou igual à segunda. Isso significa que uma delas é redundante. Vamos eliminar a terceira linha subtraindo a segunda linha dela:
Resultando em:

Passo 7

Agora, temos a matriz em forma escalonada. O próximo passo é contar quantas linhas não nulas temos, pois esse número é o posto da matriz. Aqui, temos duas linhas não nulas.

Passo 8

Então, o posto da matriz é 2.

Resposta

O posto da matriz é 2. Além disso, como o posto é menor que o número de linhas e colunas da matriz identidade (que teria posto igual ao número de suas linhas), a matriz não é equivalente à matriz identidade.

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