Determine o posto de cada uma das matrizes abaixo e diga quals delas são equivalentes à matriz identidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente descobrir o posto da matriz e ver quais matrizes são equivalentes à matriz identidade. O posto de uma matriz é como se fosse o número máximo de linhas ou colunas que são independentes entre si. Para resolver isso, vamos usar operações de linha para simplificar a matriz e identificar seu posto. Também vamos comparar com a matriz identidade para ver se são equivalentes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz :
Passo 3
O próximo passo é transformar essa matriz em uma forma mais simples, chamada de forma escalonada, usando operações elementares de linha (como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha a outra). Isso facilita identificar o posto da matriz.
Passo 4
Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna:
Manter a primeira linha igual.
Subtrair 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
Adicionar a primeira linha à terceira linha:
Aplicando essas operações:
Passo 5
Agora, vamos simplificar mais a matriz. Queremos que o segundo elemento da segunda linha seja 1. Então, multiplicamos a segunda linha por -1:
Isso nos dá:
Passo 6
Perceba que a terceira linha ficou igual à segunda. Isso significa que uma delas é redundante. Vamos eliminar a terceira linha subtraindo a segunda linha dela:
Resultando em:
Passo 7
Agora, temos a matriz em forma escalonada. O próximo passo é contar quantas linhas não nulas temos, pois esse número é o posto da matriz. Aqui, temos duas linhas não nulas.
Passo 8
Então, o posto da matriz é 2.
Resposta
O posto da matriz é 2. Além disso, como o posto é menor que o número de linhas e colunas da matriz identidade (que teria posto igual ao número de suas linhas), a matriz não é equivalente à matriz identidade.