Seja um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno. Mostre que existe uma base ortonormal de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, em um espaço vetorial de dimensão finita que tem um produto interno, sempre dá para encontrar uma base que seja ortonormal. Ou seja, uma base onde todos os vetores são “perpendiculares” entre si e com comprimento 1. Para resolver isso, vamos usar o processo de Gram-Schmidt, que nos ajuda a transformar uma base qualquer em uma base ortonormal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um produto interno. É uma forma de “multiplicar” dois vetores para obter um número, que nos dá informações sobre o ângulo e o comprimento dos vetores. Com o produto interno, a gente pode falar de vetores sendo ortogonais (perpendiculares) se o produto interno deles for zero.

Passo 3

Como o espaço tem dimensão finita, podemos começar com qualquer base de . Nosso objetivo é transformar essa base em uma base ortonormal usando o processo de Gram-Schmidt.

Passo 4

O processo de Gram-Schmidt funciona assim:
  1. Normalizar o primeiro vetor: Dividimos pelo seu comprimento para obter .
  2. Ortonormalizar os vetores seguintes:
    • Para cada (com ), subtraímos a projeção de nos vetores já ortonormalizados .
    • Isso garante que seja ortogonal a todos os anteriores.
    • Depois, normalizamos dividindo pelo seu comprimento.
Matematicamente, para cada :
Aqui, representa o produto interno.

Passo 5

Aplicando esse processo a todos os vetores da base inicial, a gente garante que todos os vetores resultantes são ortonormais. Ou seja, são todos ortogonais entre si e cada um tem comprimento igual a 1.

Resposta

Portanto, existe sempre uma base ortonormal em um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno, garantida pelo processo de Gram-Schmidt.

Exercícios relacionados

Considere a transformação linear definida por .
Encontre os autovalores de .
Sejam e bases do tais que e .
(a) Determine a matriz de mudança de base, da base para a base .
Determine o valor de de modo que o sistema
seja:
impossível.
Considere a transformação linear definida por .
Encontre uma base de tal que é uma matriz diagonal.