Considere a transformação linear T: R^3 R^2, dada por
T(x, y, z)=(x-y-z, 2 z-x)
Encontre uma base para N u(T) e uma base para Im(T).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear T(x, y, z) = (x - y - z, , 2z - x) definida por
A gente precisa encontrar duas coisas:
  1. Base do Núcleo de ( ú ou ): São todos os vetores de que, quando aplicamos , dão o vetor zero em .
  2. Base da Imagem de ( ou ): É o conjunto de todos os vetores em que são resultados da aplicação de em vetores de .
Pra resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como o núcleo e a imagem de uma transformação linear, e vamos precisar montar e resolver sistemas lineares.

Passo 2

Vamos começar encontrando o Núcleo de x - y - z = 0 2z - x = 0 . Isso significa resolver a equação . Ou seja:
Isso nos dá um sistema de equações lineares que precisamos resolver para encontrar , e .

Passo 3

Agora, vamos resolver o sistema de equações:
  1. Da segunda equação: x = 2z , podemos isolar 2z - y - z = 0 implies z - y = 0 implies y = z :
x = 2z e y = z
  1. Substituindo na primeira equação:
Então, temos:
Aqui, pode ser qualquer número real. Vamos chamá-lo de parâmetro livre .

Passo 4

Dessa forma, podemos expressar os vetores no núcleo como:
(x, y, z) = (2t, , t, , t) = t cdot (2, , 1, , 1)
Isso significa que todo vetor no núcleo é um múltiplo escalar do vetor .

Passo 5

Portanto, uma base para o Núcleo de Base do Núc<=o(T) = , (2, , 1, , 1) , é o conjunto que contém apenas esse vetor:
ú

Passo 6

Agora, vamos encontrar a Imagem de A = 1 & -1 & -1 -1 & 0 & 2 . Para isso, observamos como transforma os vetores de . Podemos representar pela matriz:
A imagem de é o espaço gerado pelas colunas dessa matriz.

Passo 7

Vamos considerar as colunas de c1 = 1 -1 , c2 = -1 0 , c3 = -1 2 :
Para encontrar uma base da imagem, precisamos verificar se essas colunas são linearmente independentes. Se não forem, removemos as colunas dependentes.

Passo 8

Vamos ver se -1 = a cdot 1 implies a = -1 e 0 = a cdot (-1) = -(-1) = 1 neq 0 são combinações lineares de :
  • Tentar :
Mas então a segunda componente:
Portanto, não é múltiplo de . Similarmente, não é combinação linear de e . Assim, todas as colunas são necessárias para gerar a imagem.

Passo 9

No entanto, como a imagem está em Determinante = (1)(0) - (-1)(-1) = 0 - 1 = -1 neq 0 , que tem dimensão 2, só precisamos de dois vetores que são linearmente independentes para formar a base. Vamos verificar e :
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Uma base para ú é e uma base para é .

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