Considere a transformação linear
, dada por
Encontre uma base para
e uma base para
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
definida por
A gente precisa encontrar duas coisas:
- Base do Núcleo de
( ou ): São todos os vetores de que, quando aplicamos , dão o vetor zero em . - Base da Imagem de
( ou ): É o conjunto de todos os vetores em que são resultados da aplicação de em vetores de .
Pra resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como o núcleo e a imagem de uma transformação linear, e vamos precisar montar e resolver sistemas lineares.
Passo 2
Vamos começar encontrando o Núcleo de
. Isso significa resolver a equação
. Ou seja:
Isso nos dá um sistema de equações lineares que precisamos resolver para encontrar
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos resolver o sistema de equações:
- Da segunda equação:
, podemos isolar :
- Substituindo
na primeira equação:
Então, temos:
Aqui,
pode ser qualquer número real. Vamos chamá-lo de parâmetro livre
.
Passo 4
Dessa forma, podemos expressar os vetores no núcleo como:
Isso significa que todo vetor no núcleo é um múltiplo escalar do vetor
.
Passo 5
Portanto, uma base para o Núcleo de
é o conjunto que contém apenas esse vetor:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a Imagem de
. Para isso, observamos como
transforma os vetores de
. Podemos representar
pela matriz:
A imagem de
é o espaço gerado pelas colunas dessa matriz.
Passo 7
Vamos considerar as colunas de
:
Para encontrar uma base da imagem, precisamos verificar se essas colunas são linearmente independentes. Se não forem, removemos as colunas dependentes.
Passo 8
Vamos ver se
e
são combinações lineares de
:
- Tentar
:
Mas então a segunda componente:
Portanto,
não é múltiplo de
. Similarmente,
não é combinação linear de
e
. Assim, todas as colunas são necessárias para gerar a imagem.
Passo 9
No entanto, como a imagem está em
, que tem dimensão 2, só precisamos de dois vetores que são linearmente independentes para formar a base. Vamos verificar
e
:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Resposta
Uma base para
é
e uma base para
é
.