Seja
uma transformação linear injetora entre subespaços vetoriais de dimensão finita e seja
um subespaço não nulo. Prove que:
(a)
.
(b) Se
, além de injetora, é sobrejetora, então
.
(a)
(b) Se
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
que é injetora, ou seja, transforma vetores distintos de
em vetores distintos de
. Além disso, temos um subespaço não nulo
. Precisamos provar duas coisas:
(a) A dimensão de
é igual à dimensão de
.
(b) Se
é sobrejetora (ou seja, cobre todo
) além de ser injetora, então as dimensões de
e
são iguais.
Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de transformações lineares, como dimensão, injeção e sobrejeção.
Passo 2
Parte (a): Provar que
.
Primeiro, lembre-se que a dimensão de um subespaço é o número de vetores em uma base desse subespaço. Como
é injetora, ela não “encolhe” nenhum vetor a zero, o que significa que linearmente independentes em
permanecem linearmente independentes em
.
Passo 3
Vamos considerar uma base de
, digamos
. Como
é injetora, a imagem desses vetores
será uma base para
, já que não há dependência linear introduzida pela transformação.
Passo 4
Portanto, o número de vetores na base de
é o mesmo que o número de vetores na base de
. Isso nos leva a concluir que:
(a)
.
Passo 5
Parte (b): Provar que se
é injetora e sobrejetora, então
.
Se
é sobrejetora, isso significa que todo vetor em
é atingido por algum vetor em
. Juntamente com o fato de que
é injetora,
estabelece uma correspondência biunívoca entre
e
, ou seja,
é um isomorfismo.
Passo 6
Em um isomorfismo, os espaços vetoriais envolvidos têm a mesma dimensão, pois há uma correspondência um-a-um entre suas bases.
Passo 7
Portanto, concluímos que:
(b)
.
Resposta
(a)
.
(b)
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
vetores em
.
(d) Conclua que e a dimensão de
.
(d) Conclua que
Considere a transformação linear
, dada por
Encontre uma base para
e uma base para
.
Ex. 2. Simplifique:
© ;
©
Sejam
e
subespacos gerados do
. Determine:
(a) Uma base e a dimensão de .
(a) Uma base e a dimensão de