Seja T: V W uma transformação linear injetora entre subespaços vetoriais de dimensão finita e seja H subset V um subespaço não nulo. Prove que:
(a) dim T(H)=dim H.
(b) Se T, além de injetora, é sobrejetora, então dim V=dim W.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que é injetora, ou seja, transforma vetores distintos de em vetores distintos de . Além disso, temos um subespaço não nulo . Precisamos provar duas coisas:
(a) A dimensão de é igual à dimensão de .
(b) Se é sobrejetora (ou seja, cobre todo ) além de ser injetora, então as dimensões de e são iguais.
Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de transformações lineares, como dimensão, injeção e sobrejeção.

Passo 2

Parte (a): Provar que .
Primeiro, lembre-se que a dimensão de um subespaço é o número de vetores em uma base desse subespaço. Como é injetora, ela não “encolhe” nenhum vetor a zero, o que significa que linearmente independentes em permanecem linearmente independentes em .

Passo 3

Vamos considerar uma base de , digamos . Como é injetora, a imagem desses vetores será uma base para , já que não há dependência linear introduzida pela transformação.

Passo 4

Portanto, o número de vetores na base de é o mesmo que o número de vetores na base de . Isso nos leva a concluir que:
(a) .

Passo 5

Parte (b): Provar que se é injetora e sobrejetora, então .
Se é sobrejetora, isso significa que todo vetor em é atingido por algum vetor em . Juntamente com o fato de que é injetora, estabelece uma correspondência biunívoca entre e , ou seja, é um isomorfismo.

Passo 6

Em um isomorfismo, os espaços vetoriais envolvidos têm a mesma dimensão, pois há uma correspondência um-a-um entre suas bases.

Passo 7

Portanto, concluímos que:
(b) .

Resposta

(a) .
(b) .

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