Seja T(x, y, z)=(x+z, y+z, a^2 y+z), onde a in R.
(a) Encontre todos os valores de a que tornam a transformação linear T invertível.
(b) Encontre a inversa de T(x, y, z)=(x+z, y+z, 4 y+z).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma transformação linear , onde é um número real. O conteúdo envolvido aqui é álgebra linear, especificamente a invertibilidade de transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com matrizes e determinar se a transformação é invertível através do cálculo do determinante da matriz associada.

Passo 2

Para verificar se a transformação é invertível, precisamos encontrar a matriz associada a e calcular o seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, a matriz (e, portanto, a transformação) é invertível.

Passo 3

Vamos escrever a matriz associada a A = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & a^2 & 1 . A transformação envia o vetor para . Portanto, a matriz será:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = 1 cdot 1 & 1 a^2 & 1 - 0 cdot 0 & 1 0 & 1 + 1 cdot 0 & 1 0 & a^2 :
det(A) = 1 cdot (1 cdot 1 - 1 cdot a^2) + 0 + 1 cdot (0 cdot a^2 - 0 cdot 1) = 1(1 - a^2) + 0 = 1 - a^2
Simplificando:

Passo 5

Para que 1 - a^2 neq 0 implies a^2 neq 1 implies a neq pm 1 seja invertível, o determinante deve ser diferente de zero:

Resposta

(a) A transformação linear é invertível para todos os valores de tais que e .
(b) A inversa de é .

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