Mostrar que são subespaços vetoriais de M2 times 2(R) os seguintes subconjuntos:
V=A in M2 times 2(R) mid A T=T A onde T in M2 times 2(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que um certo conjunto é um subespaço vetorial do espaço das matrizes com números reais, . O conjunto é formado por todas as matrizes que comutam com uma matriz fixa , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se satisfaz os critérios necessários.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição, ou seja, se e estão em , então também está em .
  3. É fechado sob multiplicação por escalar, ou seja, se está em e é um número real, então também está em .
Vamos verificar cada um desses pontos para o conjunto .

Passo 3

1. O vetor zero está em 0 cdot T = 0 = T cdot 0 ?
O vetor zero no espaço é a matriz nula, . Vamos ver se ela comuta com :
Portanto, . Tá tudo certo aqui!

Passo 4

2. AT = TA e BT = TB é fechado sob adição?
Vamos pegar duas matrizes (A + B)T = AT + BT = TA + TB = T(A + B) e em . Isso significa que:
Queremos mostrar que também comuta com :
Como e , a igualdade acima mostra que comuta com . Então, .

Passo 5

3. (cA)T = c(AT) = c(TA) = T(cA) é fechado sob multiplicação por escalar?
Pegue uma matriz em e um escalar . Queremos ver se também está em :
Aqui, usamos o fato de que a multiplicação por escalar distribui. Como , comuta com . Logo, .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é de fato um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados

Seja T: R^3 R^3 a transformação linear definida por
T(x, y, z)=(x+z, x-y, y)
Mostre que T é um isomorfismo, e determine:
(a) T^-1(x, y, z).
Sejam T: R^3 P2 a transformação linear definida por
T(x, y, z)=(2 y-z)+(x+4 y-2 z) t+(-x-7 y+3 z) t^2
e S: P2 R^3 a transformação linear definida por
S(x+y t+z t^2)=(x+y-z, y-z, x+z)
Determine (S circ T)(x, y, z) e (T circ S)(x+y t+z t^2).
Determine a transformação linear T: M(2,2) P2 que satisfaz:
T([ll1 & 0 0 & 0])=-t+t^2, T([ll0 & 1 0 & 0])=-1+t, T([ll0 & 0 1 & 0])=3 t, T([ll0 & 0 0 & 1])=2.
Além disso, encontre T([ll1 & 2 3 & 4]).
Considere a transformação linear T: R^2 R^2 definida por
T(x, y)=(2 x-y, 0)
(a) Determine uma base e a dimensão de Ker(T).