Mostrar que são subespaços vetoriais de
os seguintes subconjuntos:
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que um certo conjunto
é um subespaço vetorial do espaço das matrizes
com números reais,
. O conjunto
é formado por todas as matrizes
que comutam com uma matriz fixa
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se
satisfaz os critérios necessários.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial é um subespaço se:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição, ou seja, se
e estão em , então também está em . - É fechado sob multiplicação por escalar, ou seja, se
está em e é um número real, então também está em .
Vamos verificar cada um desses pontos para o conjunto
.
Passo 3
1. O vetor zero está em
?
O vetor zero no espaço
é a matriz nula,
. Vamos ver se ela comuta com
:
Portanto,
. Tá tudo certo aqui!
Passo 4
2.
é fechado sob adição?
Vamos pegar duas matrizes
e
em
. Isso significa que:
Queremos mostrar que
também comuta com
:
Como
e
, a igualdade acima mostra que
comuta com
. Então,
.
Passo 5
3.
é fechado sob multiplicação por escalar?
Pegue uma matriz
em
e um escalar
. Queremos ver se
também está em
:
Aqui, usamos o fato de que a multiplicação por escalar distribui. Como
,
comuta com
. Logo,
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é de fato um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Seja
a transformação linear definida por
Mostre que
é um isomorfismo, e determine:
(a) .
(a)
Sejam
a transformação linear definida por
e
a transformação linear definida por
Determine
e
.
Determine a transformação linear
que satisfaz:
.
Além disso, encontre .
Além disso, encontre
Considere a transformação linear
definida por
(a) Determine uma base e a dimensão de
.