Mostrar que são subespaços vetoriais de M2 times 2(R) os seguintes subconjuntos:
V=A in M2 times 2(R) mid A T=T A onde T in M2 times 2(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que um certo conjunto é um subespaço vetorial do espaço das matrizes com números reais, . O conjunto é formado por todas as matrizes que comutam com uma matriz fixa , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se satisfaz os critérios necessários.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição, ou seja, se e estão em , então também está em .
  3. É fechado sob multiplicação por escalar, ou seja, se está em e é um número real, então também está em .
Vamos verificar cada um desses pontos para o conjunto .

Passo 3

1. O vetor zero está em 0 cdot T = 0 = T cdot 0 ?
O vetor zero no espaço é a matriz nula, . Vamos ver se ela comuta com :
Portanto, . Tá tudo certo aqui!

Passo 4

2. AT = TA e BT = TB é fechado sob adição?
Vamos pegar duas matrizes (A + B)T = AT + BT = TA + TB = T(A + B) e em . Isso significa que:
Queremos mostrar que também comuta com :
Como e , a igualdade acima mostra que comuta com . Então, .

Passo 5

3. (cA)T = c(AT) = c(TA) = T(cA) é fechado sob multiplicação por escalar?
Pegue uma matriz em e um escalar . Queremos ver se também está em :
Aqui, usamos o fato de que a multiplicação por escalar distribui. Como , comuta com . Logo, .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é de fato um subespaço vetorial de .

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