Determine a transformação linear T: M(2,2) P2 que satisfaz:
T([ll1 & 0 0 & 0])=-t+t^2, T([ll0 & 1 0 & 0])=-1+t, T([ll0 & 0 1 & 0])=3 t, T([ll0 & 0 0 & 1])=2.
Além disso, encontre T([ll1 & 2 3 & 4]).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma transformação linear que leva matrizes 2x2 para polinômios de grau no máximo 2. O exercício já deu como o valor de quatro matrizes básicas. Além disso, tem uma matriz específica que queremos transformar usando . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de transformação linear e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que toda matriz 2x2 pode ser escrita como uma combinação das quatro matrizes básicas:
E11 = 1 & 0 0 & 0, E12 = 0 & 1 0 & 0, E21 = 0 & 0 1 & 0, E22 = 0 & 0 0 & 1
Então, qualquer matriz a & b c & d pode ser escrita como:
A = aE11 + bE12 + cE21 + dE22

Passo 3

Como T(A) = aT(E11) + bT(E12) + cT(E21) + dT(E22) é uma transformação linear, ela respeita a combinação linear. Isso significa que:
T(E11) = -t + t^2, T(E12) = -1 + t, T(E21) = 3t, T(E22) = 2
Vamos substituir os valores que o exercício forneceu:

Passo 4

Agora, vamos aplicar esses valores na expressão de T(1 & 2 3 & 4) = 1 cdot (-t + t^2) + 2 cdot (-1 + t) + 3 cdot (3t) + 4 cdot 2 :
1 cdot (-t + t^2) = -t + t^2
Vamos simplificar cada termo:
2 cdot (-1 + t) = -2 + 2t
3 cdot (3t) = 9t
4 cdot 2 = 8
-t + t^2 - 2 + 2t + 9t + 8
Agora, somamos todos esses resultados:
t^2 + (-t + 2t + 9t) + (-2 + 8) = t^2 + 10t + 6
Juntando os termos semelhantes:

Resposta

1 & 2 3 & 4

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