Considere a transformação linear
definida por
Té um isomorfismo? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear
definida por
. O que a gente precisa descobrir é se essa transformação é um isomorfismo. Para isso, vamos precisar entender o que é isomorfismo na matéria de Álgebra Linear e quais condições a transformação precisa cumprir para ser um isomorfismo.
Passo 2
Primeiro, o que é um isomorfismo? Em Álgebra Linear, uma transformação linear é chamada de isomorfismo se ela for bijetora, ou seja, se for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Isso significa que cada elemento do espaço de chegada tem exatamente uma imagem no espaço de partida e vice-versa. Para verificar isso, vamos checar essas duas propriedades para
.
Passo 3
Vamos começar verificando se
é injetora. Uma transformação linear é injetora se o núcleo (ou kernel) dela contém apenas o vetor zero. O núcleo de
é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero em
. Em termos matemáticos:
Passo 4
Vamos encontrar o núcleo de
. Temos:
Isso nos dá o sistema de equações:
A segunda equação é sempre verdadeira, então precisamos resolver apenas a primeira:
Então, todo vetor no núcleo de
tem a forma
, onde
pode ser qualquer número real.
Passo 5
Mas, pra
ser injetora, o núcleo precisa conter apenas o vetor zero, ou seja,
. No nosso caso, vemos que qualquer vetor
está no núcleo. Isso significa que há infinitos vetores no núcleo de
, não apenas o vetor zero.
Passo 6
Como o núcleo de
não contém apenas o vetor zero, a transformação
não é injetora. E, já que um isomorfismo precisa ser injetora e sobrejetora, podemos concluir que
não é um isomorfismo.
Resposta
Não, a transformação
não é um isomorfismo porque seu núcleo contém infinitos vetores além do vetor zero, ou seja,
não é injetora.
Exercícios relacionados
Determine se o conjunto
é linearmente independente ou linearmente dependente.
Determine se o conjunto
gera
. Se o conjunto
não gerar
, então dê uma descrição do subespaço que ele gera.
Determine se o conjunto
gera
. Se o conjunto
não gerar
, então dê uma descrição do subespaço que ele gera.
Determine se o conjunto
gera o espaço vetorial
. Se gerar, escreva u
como uma combinação linear dos vetores em
.