Considere a transformação linear T: R^2 R^2 definida por
T(x, y)=(2 x-y, 0)
Té um isomorfismo? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear definida por . O que a gente precisa descobrir é se essa transformação é um isomorfismo. Para isso, vamos precisar entender o que é isomorfismo na matéria de Álgebra Linear e quais condições a transformação precisa cumprir para ser um isomorfismo.

Passo 2

Primeiro, o que é um isomorfismo? Em Álgebra Linear, uma transformação linear é chamada de isomorfismo se ela for bijetora, ou seja, se for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Isso significa que cada elemento do espaço de chegada tem exatamente uma imagem no espaço de partida e vice-versa. Para verificar isso, vamos checar essas duas propriedades para .

Passo 3

Vamos começar verificando se Ker(T) = (x, y) in R^2 mid T(x, y) = (0, 0) é injetora. Uma transformação linear é injetora se o núcleo (ou kernel) dela contém apenas o vetor zero. O núcleo de é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Em termos matemáticos:

Passo 4

Vamos encontrar o núcleo de T(x, y) = (2x - y, 0) = (0, 0) . Temos:
2x - y = 0
Isso nos dá o sistema de equações:
0 = 0
2x = y
A segunda equação é sempre verdadeira, então precisamos resolver apenas a primeira:
Então, todo vetor no núcleo de tem a forma , onde pode ser qualquer número real.

Passo 5

Mas, pra ser injetora, o núcleo precisa conter apenas o vetor zero, ou seja, . No nosso caso, vemos que qualquer vetor está no núcleo. Isso significa que há infinitos vetores no núcleo de , não apenas o vetor zero.

Passo 6

Como o núcleo de não contém apenas o vetor zero, a transformação não é injetora. E, já que um isomorfismo precisa ser injetora e sobrejetora, podemos concluir que não é um isomorfismo.

Resposta

Não, a transformação não é um isomorfismo porque seu núcleo contém infinitos vetores além do vetor zero, ou seja, não é injetora.

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