Determine se o conjunto
gera
. Se o conjunto
não gerar
, então dê uma descrição do subespaço que ele gera.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear onde precisamos verificar se o conjunto
gera todo o espaço bidimensional
. Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear e independência linear, que nos ajudarão a entender se conseguimos formar qualquer vetor de
usando combinações dos vetores em
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o conjunto
gerar
. Isso quer dizer que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em
. Em outras palavras, precisamos ver se existem números reais
e
tais que:
para quaisquer
e
em
.
Passo 3
Agora, vamos montar o sistema de equações que representa essa combinação linear:
Queremos saber se esse sistema tem solução para todo
e
. Para isso, vamos verificar se os dois vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear do outro. Se forem independentes, eles geram
. Vamos verificar se isso acontece aqui.
Assumindo que existe um número
tal que:
Isso implica que:
Da primeira equação,
, mas da segunda,
. Como não existe um único
que satisfaça as duas equações simultaneamente, os vetores não são múltiplos um do outro, ou seja, são linearmente independentes.
Passo 5
Como os vetores
e
são linearmente independentes, isso significa que o conjunto
gera
. Portanto, qualquer vetor em
pode ser obtido através de combinações lineares desses dois vetores.
Resposta
Sim, o conjunto
gera todo o espaço
.
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Considere a transformação linear
definida por
Té um isomorfismo? Justifique.
Determine se o conjunto
é linearmente independente ou linearmente dependente.
Determine se o conjunto
gera o espaço vetorial
. Se gerar, escreva u
como uma combinação linear dos vetores em
.
Determine a dimensão dos seguintes subespaços de
:
(O subespaço das matrizes simétricas)