Determine se o conjunto gera . Se o conjunto não gerar , então dê uma descrição do subespaço que ele gera.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear onde precisamos verificar se o conjunto gera todo o espaço bidimensional . Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear e independência linear, que nos ajudarão a entender se conseguimos formar qualquer vetor de usando combinações dos vetores em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o conjunto gerar . Isso quer dizer que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em . Em outras palavras, precisamos ver se existem números reais e tais que:
para quaisquer e em .

Passo 3

Agora, vamos montar o sistema de equações que representa essa combinação linear:
Queremos saber se esse sistema tem solução para todo e . Para isso, vamos verificar se os dois vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear do outro. Se forem independentes, eles geram . Vamos verificar se isso acontece aqui.
Assumindo que existe um número tal que:
Isso implica que:
Da primeira equação, , mas da segunda, . Como não existe um único que satisfaça as duas equações simultaneamente, os vetores não são múltiplos um do outro, ou seja, são linearmente independentes.

Passo 5

Como os vetores e são linearmente independentes, isso significa que o conjunto gera . Portanto, qualquer vetor em pode ser obtido através de combinações lineares desses dois vetores.

Resposta

Sim, o conjunto gera todo o espaço .

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