Determine se o conjunto S é linearmente independente ou linearmente dependente.
S=(-4,-3,4),(1,-2,3),(6,0,0)

Passo 1

Então, a gente tem o conjunto . A questão aqui é descobrir se esse conjunto é linearmente independente ou linearmente dependente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa esses termos e usar um sistema de equações para verificar se existe uma combinação dos vetores que resulte no vetor nulo de uma maneira não trivial.

Passo 2

Vamos começar montando uma combinação linear dos vetores que iguala ao vetor zero. Isso significa que vamos procurar constantes a,(-4,, -3,, 4) + b,(1,, -2,, 3) + c,(6,, 0,, 0) = (0,, 0,, 0) , -4a + b + 6c = 0 -3a - 2b + 0c = 0 4a + 3b + 0c = 0 e tais que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de -3a - 2b = 0 Rightarrow 3a + 2b = 0 Rightarrow b = -32a , 4a + 3(-32a) = 0 Rightarrow 4a - 92a = 0 Rightarrow -12a = 0 Rightarrow a = 0 e -4(0) + 0 + 6c = 0 Rightarrow 6c = 0 Rightarrow c = 0 .
Começamos pela segunda equação:
Substituindo esse valor de na terceira equação:
Com , encontramos que também. Agora, substituindo e na primeira equação:

Resposta

Como a única solução para o sistema é , isso significa que a única combinação linear que resulta no vetor zero é a trivial. Portanto, o conjunto é linearmente independente.

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