Determine se o conjunto é linearmente independente ou linearmente dependente.

Passo 1

Então, a gente tem o conjunto . A questão aqui é descobrir se esse conjunto é linearmente independente ou linearmente dependente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa esses termos e usar um sistema de equações para verificar se existe uma combinação dos vetores que resulte no vetor nulo de uma maneira não trivial.

Passo 2

Vamos começar montando uma combinação linear dos vetores que iguala ao vetor zero. Isso significa que vamos procurar constantes , e tais que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .
Começamos pela segunda equação:
Substituindo esse valor de na terceira equação:
Com , encontramos que também. Agora, substituindo e na primeira equação:

Resposta

Como a única solução para o sistema é , isso significa que a única combinação linear que resulta no vetor zero é a trivial. Portanto, o conjunto é linearmente independente.

Exercícios relacionados

Determine se o conjunto gera . Se o conjunto não gerar , então dê uma descrição do subespaço que ele gera.
Escreva o vetor v como uma combinação linear dos vetores em (se possível):
Considere a transformação linear definida por
Té um isomorfismo? Justifique.
Determine se o conjunto gera . Se o conjunto não gerar , então dê uma descrição do subespaço que ele gera.