Determine se o conjunto gera . Se o conjunto não gerar , então dê uma descrição do subespaço que ele gera.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está pedindo para descobrir se o conjunto gera todo o espaço tridimensional . Se não gerar, a gente precisa entender qual subespaço ele realmente forma. Para isso, vamos usar conceitos de **espaços vetoriais** e **independência linear**.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores gerar . Isso quer dizer que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores do conjunto . Para verificar isso, precisamos ver se os vetores de são **linearmente independentes** e se eles **espancam** o espaço .

Passo 3

Vamos organizar os vetores em uma matriz para facilitar a análise: Aqui, cada linha representa um vetor do conjunto . Nosso objetivo é analisar se essas linhas são linearmente independentes.

Passo 4

Para verificar a independência linear, vamos colocar a matriz em **forma escalonada** usando o m��todo de **eliminação de Gauss**. Primeiro, mantemos a primeira linha como está: Agora, eliminamos o primeiro elemento das linhas abaixo: - Linha 2: , , - Linha 3: , , - Linha 4: , , A matriz fica assim:

Passo 5

Observamos que as linhas 2 e 3 são iguais, e a linha 4 agora é uma linha de zeros. Isso indica que temos **vetores dependentes**, ou seja, nem todos os vetores de são necessários para gerar o espaço. Além disso, temos apenas **dois pivôs** (elementos não nulos iniciais em cada linha), o que significa que o **posto** da matriz é 2. Como tem dimensão 3, o conjunto não gera todo o espaço.

Passo 6

Então, se não gera , precisamos descrever o subespaço que ele gera. Como o posto é 2, o subespa��o gerado é um **plano** em . Podemos encontrar a equação desse plano usando os vetores independentes. Tomando os vetores e , encontramos uma combinação linear que define o plano.

Passo 7

Finalmente, concluímos que o conjunto **não gera** . Em vez disso, ele gera um **plano** dentro de definido pelas combinações lineares dos vetores e . --- **Resposta Final:** O conjunto não gera . Em vez disso, ele gera um plano em .

Resposta

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Escreva o vetor v como uma combinação linear dos vetores em (se possível):
Determine se o conjunto que segue abaixo é um subespaço vetorial do conjunto :
Determine se o conjunto é linearmente independente ou linearmente dependente.
Considere a transformação linear definida por Té um isomorfismo? Justifique.