Determine se o conjunto S gera R^3. Se o conjunto S não gerar R^3, então dê uma descrição do subespaço que ele gera.
S=(1,0,3),(2,0,-1),(4,0,5),(2,0,6)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está pedindo para descobrir se o conjunto gera todo o espaço tridimensional . Se não gerar, a gente precisa entender qual subespaço ele realmente forma. Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores gerar . Isso quer dizer que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores do conjunto . Para verificar isso, precisamos ver se os vetores de são linearmente independentes e se eles espancam o espaço .

Passo 3

Vamos organizar os vetores em uma matriz para facilitar a análise:
1 & 0 & 3 2 & 0 & -1 4 & 0 & 5 2 & 0 & 6
Aqui, cada linha representa um vetor do conjunto . Nosso objetivo é analisar se essas linhas são linearmente independentes.

Passo 4

Para verificar a independência linear, vamos colocar a matriz em forma escalonada usando o m��todo de eliminação de Gauss.
Primeiro, mantemos a primeira linha como está:
1 & 0 & 3 2 & 0 & -1 4 & 0 & 5 2 & 0 & 6
Agora, eliminamos o primeiro elemento das linhas abaixo:
  • Linha 2: 1 & 0 & 3 0 & 0 & -7 0 & 0 & -7 0 & 0 & 0 , ,
  • Linha 3: , ,
  • Linha 4: , ,
A matriz fica assim:

Passo 5

Observamos que as linhas 2 e 3 são iguais, e a linha 4 agora é uma linha de zeros. Isso indica que temos vetores dependentes, ou seja, nem todos os vetores de são necessários para gerar o espaço.
Além disso, temos apenas dois pivôs (elementos não nulos iniciais em cada linha), o que significa que o posto da matriz é 2. Como tem dimensão 3, o conjunto não gera todo o espaço.

Passo 6

Então, se não gera , precisamos descrever o subespaço que ele gera. Como o posto é 2, o subespa��o gerado é um plano em .
Podemos encontrar a equação desse plano usando os vetores independentes. Tomando os vetores e , encontramos uma combinação linear que define o plano.

Passo 7

Finalmente, concluímos que o conjunto não gera . Em vez disso, ele gera um plano dentro de definido pelas combinações lineares dos vetores e .

Resposta Final: O conjunto não gera . Em vez disso, ele gera um plano em .

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