Determine se o conjunto gera . Se o conjunto não gerar , então dê uma descrição do subespaço que ele gera.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está pedindo para descobrir se o conjunto gera todo o espaço tridimensional . Se não gerar, a gente precisa entender qual subespaço ele realmente forma. Para isso, vamos usar conceitos de **espaços vetoriais** e **independência linear**.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores gerar . Isso quer dizer que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores do conjunto . Para verificar isso, precisamos ver se os vetores de são **linearmente independentes** e se eles **espancam** o espaço .
Passo 3
Vamos organizar os vetores em uma matriz para facilitar a análise:
Aqui, cada linha representa um vetor do conjunto . Nosso objetivo é analisar se essas linhas são linearmente independentes.
Passo 4
Para verificar a independência linear, vamos colocar a matriz em **forma escalonada** usando o m��todo de **eliminação de Gauss**.
Primeiro, mantemos a primeira linha como está:
Agora, eliminamos o primeiro elemento das linhas abaixo:
- Linha 2: → , ,
- Linha 3: → , ,
- Linha 4: → , ,
A matriz fica assim:
Passo 5
Observamos que as linhas 2 e 3 são iguais, e a linha 4 agora é uma linha de zeros. Isso indica que temos **vetores dependentes**, ou seja, nem todos os vetores de são necessários para gerar o espaço.
Além disso, temos apenas **dois pivôs** (elementos não nulos iniciais em cada linha), o que significa que o **posto** da matriz é 2. Como tem dimensão 3, o conjunto não gera todo o espaço.
Passo 6
Então, se não gera , precisamos descrever o subespaço que ele gera. Como o posto é 2, o subespa��o gerado é um **plano** em .
Podemos encontrar a equação desse plano usando os vetores independentes. Tomando os vetores e , encontramos uma combinação linear que define o plano.
Passo 7
Finalmente, concluímos que o conjunto **não gera** . Em vez disso, ele gera um **plano** dentro de definido pelas combinações lineares dos vetores e .
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**Resposta Final:** O conjunto não gera . Em vez disso, ele gera um plano em .