Determine se o conjunto gera . Se o conjunto não gerar , então dê uma descrição do subespaço que ele gera.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está pedindo para descobrir se o conjunto gera todo o espaço tridimensional . Se não gerar, a gente precisa entender qual subespaço ele realmente forma. Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores gerar . Isso quer dizer que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores do conjunto . Para verificar isso, precisamos ver se os vetores de são linearmente independentes e se eles espancam o espaço .
Passo 3
Vamos organizar os vetores em uma matriz para facilitar a análise:
Aqui, cada linha representa um vetor do conjunto . Nosso objetivo é analisar se essas linhas são linearmente independentes.
Passo 4
Para verificar a independência linear, vamos colocar a matriz em forma escalonada usando o m��todo de eliminação de Gauss.
Primeiro, mantemos a primeira linha como está:
1 & 0 & 3 2 & 0 & -1 4 & 0 & 5 2 & 0 & 6
Agora, eliminamos o primeiro elemento das linhas abaixo:
Observamos que as linhas 2 e 3 são iguais, e a linha 4 agora é uma linha de zeros. Isso indica que temos vetores dependentes, ou seja, nem todos os vetores de são necessários para gerar o espaço.
Além disso, temos apenas dois pivôs (elementos não nulos iniciais em cada linha), o que significa que o posto da matriz é 2. Como tem dimensão 3, o conjunto não gera todo o espaço.
Passo 6
Então, se não gera , precisamos descrever o subespaço que ele gera. Como o posto é 2, o subespa��o gerado é um plano em .
Podemos encontrar a equação desse plano usando os vetores independentes. Tomando os vetores e , encontramos uma combinação linear que define o plano.
Passo 7
Finalmente, concluímos que o conjunto não gera. Em vez disso, ele gera um plano dentro de definido pelas combinações lineares dos vetores e .
Resposta Final: O conjunto não gera . Em vez disso, ele gera um plano em .