Determine quais das seguintes funções é uma transformação linear (Justifique!):
, definida como
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para determinar se a função $ S: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $, definida por $ S([x, y, z]) = [-x, y + z] $, é uma transformação linear. Para resolver isso, precisamos revisar o que é uma transformação linear e verificar se a função $ S $ satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função $ S $ é linear se, para quaisquer vetores $ \mathbf{u} $ e $ \mathbf{v} $ em $ \mathbb{R}^{3} $ e qualquer escalar $ c $, as seguintes propriedades forem verdadeiras:
- Adição de vetores: $ S(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = S(\mathbf{u}) + S(\mathbf{v}) $
- Multiplicação por escalar: $ S(c\mathbf{u}) = cS(\mathbf{u}) $
Vamos verificar essas propriedades para a função $ S $.
Passo 3
Verificando a adição de vetores:
Sejam $ \mathbf{u} = [x_1, y_1, z_1] $ e $ \mathbf{v} = [x_2, y_2, z_2] $.
Calculando $ S(\mathbf{u} + \mathbf{v}) $:
Calculando $ S(\mathbf{u}) + S(\mathbf{v}) $:
Como $ S(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = S(\mathbf{u}) + S(\mathbf{v}) $, a propriedade da adição de vetores é satisfeita.
Passo 4
Verificando a multiplicação por escalar:
Seja $ c $ um escalar e $ \mathbf{u} = [x, y, z] $.
Calculando $ S(c\mathbf{u}) $:
Calculando $ cS(\mathbf{u}) $:
Como $ S(c\mathbf{u}) = cS(\mathbf{u}) $, a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.
Resposta
A função $ S $ satisfaz as propriedades de uma transformação linear, portanto, $ S: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $, definida por $ S([x, y, z]) = [-x, y + z] $, é uma transformação linear.