Considere a transformação linear T: R^3 longrightarrow R^2, definida por T(x, y, z)=(x+2 y-3 z, 4 x-5 y+6 z) e as bases alpha=(1,1,1),(1,2,3),(2,-1,1) do R^3 e beta=(1,0),(0,1) do R^2.
Calcule [T]beta^alpha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma transformação linear definida por . Além disso, temos as bases para e para . Nosso objetivo é calcular a matriz da transformação linear .
Para resolver isso, vamos precisar entender como representar a transformação em termos das bases dadas. Basicamente, vamos encontrar como cada vetor da base é transformado por e expressar o resultado na base .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz de transformação . Essa matriz serve para converter coordenadas de um vetor na base para a base após aplicar a transformação .
Em termos simples, cada coluna dessa matriz será a representação na base da imagem de cada vetor da base sob a transformação .

Passo 3

Vamos aplicar a transformação T(1, 1, 1) = (1 + 2(1) - 3(1), 4(1) - 5(1) + 6(1)) = (0, 5) a cada vetor da base T(1, 2, 3) = (1 + 2(2) - 3(3), 4(1) - 5(2) + 6(3)) = (-4, 8) :
  1. Aplicando T(2, -1, 1) = (2 + 2(-1) - 3(1), 4(2) - 5(-1) + 6(1)) = (-3, 15) ao primeiro vetor da base :
  2. Aplicando ao segundo vetor da base :
  3. Aplicando ao terceiro vetor da base :

Passo 4

Agora, precisamos expressar esses resultados na base . Como é a base canônica de , as coordenadas já estão na forma desejada. Portanto, as imagens dos vetores da base na base são simplesmente os vetores resultantes das aplicações de .

Passo 5

Com as imagens encontradas, podemos montar a matriz [T]beta^alpha = 0 & -4 & -3 5 & 8 & 15 . Cada coluna dessa matriz corresponde às coordenadas dos vetores transformados na base :

Resposta

A matriz da transformação linear [T]beta^alpha = 0 & -4 & -3 5 & 8 & 15 em relação às bases e é:

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