Considere a transformação linear
, definida por
as bases
do
e
do
.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma transformação linear
definida por
. Além disso, temos as bases
para
e
para
. Nosso objetivo é calcular a matriz da transformação linear
.
Para resolver isso, vamos precisar entender como representar a transformação
em termos das bases dadas. Basicamente, vamos encontrar como cada vetor da base
é transformado por
e expressar o resultado na base
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz de transformação
. Essa matriz serve para converter coordenadas de um vetor na base
para a base
após aplicar a transformação
.
Em termos simples, cada coluna dessa matriz será a representação na base
da imagem de cada vetor da base
sob a transformação
.
Passo 3
Vamos aplicar a transformação
a cada vetor da base
:
-
Aplicando
ao primeiro vetor da base : -
Aplicando
ao segundo vetor da base : -
Aplicando
ao terceiro vetor da base :
Passo 4
Agora, precisamos expressar esses resultados na base
. Como
é a base canônica de
, as coordenadas já estão na forma desejada. Portanto, as imagens dos vetores da base
na base
são simplesmente os vetores resultantes das aplicações de
.
Passo 5
Com as imagens encontradas, podemos montar a matriz
. Cada coluna dessa matriz corresponde às coordenadas dos vetores transformados na base
:
Resposta
A matriz da transformação linear
em relação às bases
e
é: