Sejam um tetraedro, e o baricentro (encontro das três medianas de uma triângulo) da face .
(1) Explique por que é uma base.
Passo 1
Vamos lá! Temos um tetraedro e um ponto , que é o baricentro da face . A pergunta é para explicar por que os vetores , e formam uma base. Isso está ligado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre base de vetores no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base e como verificar se um conjunto de vetores a forma.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma base. Em álgebra linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso, estamos trabalhando no espaço tridimensional (), então precisamos verificar se os três vetores , e são linearmente independentes e se conseguem gerar qualquer vetor no .
Passo 3
Vamos ver a linear independência. Três vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear deles dá o vetor zero, exceto a combinação trivial onde todos os coeficientes são zero. Ou seja, se , então necessariamente .
Passo 4
Como estamos lidando com um tetraedro, os pontos , e não estão todos na mesma linha reta nem no mesmo plano que o ponto , o que garante que os vetores , e são não coplanares. Isso significa que eles são linearmente independentes, pois não há como um vetor ser escrito como combinação dos outros dois.
Passo 5
Agora, sobre gerar o espaço. Como os três vetores são linearmente independentes no espaço tridimensional, eles automaticamente geram todo o . Ou seja, qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores.
Resposta
Portanto, os vetores , e são uma base do espaço tridimensional porque são linearmente independentes e geram todo o espaço.