Sejam O A B C um tetraedro, e G o baricentro (encontro das três medianas de uma triângulo) da face A B C.
(1) Explique por que (O A, O B, O C) é uma base.

Passo 1

Vamos lá! Temos um tetraedro e um ponto , que é o baricentro da face . A pergunta é para explicar por que os vetores , e formam uma base. Isso está ligado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre base de vetores no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base e como verificar se um conjunto de vetores a forma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base. Em álgebra linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso, estamos trabalhando no espaço tridimensional ( ), então precisamos verificar se os três vetores , e são linearmente independentes e se conseguem gerar qualquer vetor no .

Passo 3

Vamos ver a linear independência. Três vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear deles dá o vetor zero, exceto a combinação trivial onde todos os coeficientes são zero. Ou seja, se , então necessariamente .

Passo 4

Como estamos lidando com um tetraedro, os pontos , e não estão todos na mesma linha reta nem no mesmo plano que o ponto , o que garante que os vetores , e são não coplanares. Isso significa que eles são linearmente independentes, pois não há como um vetor ser escrito como combinação dos outros dois.

Passo 5

Agora, sobre gerar o espaço. Como os três vetores são linearmente independentes no espaço tridimensional, eles automaticamente geram todo o . Ou seja, qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores.

Resposta

Portanto, os vetores , e são uma base do espaço tridimensional porque são linearmente independentes e geram todo o espaço.

Exercícios relacionados