Determine os valores de a e b para os quais o sistema linear:
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas , e . Esse sistema depende dos parâmetros e . Nosso objetivo é encontrar os valores de e que tornam o sistema possível, ou seja, que ele tenha pelo menos uma solução.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes e determinantes, que são ferramentas poderosas para analisar sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema. Essa matriz é formada pelos números que acompanham as incógnitas nas equações:
A = 1 & 1 & -1 2 & 3 & a 1 & a & 3
Passo 3
Para que o sistema tenha uma solução única, o determinante da matriz det(A) = 1 cdot (3 cdot 3 - a cdot a) - 1 cdot (2 cdot 3 - a cdot 1) + (-1) cdot (2 cdot a - 3 cdot 1) precisa ser diferente de zero. Vamos calcular esse determinante:
Então, os valores que anulam o determinante são e . Portanto, para que o sistema tenha uma solução única, deve ser diferente de 2 e -3.
Passo 4
Agora, analisamos o parâmetro . Observamos que, enquanto e , o valor de não interfere na existência de uma solução única. Isso porque, com o determinante diferente de zero, o sistema estará sempre resolvido independentemente de .
Resposta
Os valores de devem ser diferentes de 2 e -3, ou seja, e , e pode ser qualquer número real.