(4.0 pt) Considere o sistema linear:
x+y-z & =1 2 x+3 y+a z & =3 x+a y+3 z & =2+b
Determine os valores de a e b para os quais o sistema linear:

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas , e . Esse sistema depende dos parâmetros e . Nosso objetivo é encontrar os valores de e que tornam o sistema possível, ou seja, que ele tenha pelo menos uma solução.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes e determinantes, que são ferramentas poderosas para analisar sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema. Essa matriz é formada pelos números que acompanham as incógnitas nas equações:
A = 1 & 1 & -1 2 & 3 & a 1 & a & 3

Passo 3

Para que o sistema tenha uma solução única, o determinante da matriz det(A) = 1 cdot (3 cdot 3 - a cdot a) - 1 cdot (2 cdot 3 - a cdot 1) + (-1) cdot (2 cdot a - 3 cdot 1) precisa ser diferente de zero. Vamos calcular esse determinante:
det(A) = 1 cdot (9 - a^2) - 1 cdot (6 - a) + (-1) cdot (2a - 3)
Simplificando cada parte:
det(A) = 9 - a^2 - 6 + a - 2a + 3
det(A) = (9 - 6 + 3) + (a - 2a) - a^2
det(A) = 6 - a - a^2
6 - a - a^2 neq 0
Para que o determinante seja diferente de zero:
a^2 + a - 6 neq 0
a = -1 pm raiz1 + 242 = -1 pm 52
Resolvendo a equação quadrática :
Então, os valores que anulam o determinante são e . Portanto, para que o sistema tenha uma solução única, deve ser diferente de 2 e -3.

Passo 4

Agora, analisamos o parâmetro . Observamos que, enquanto e , o valor de não interfere na existência de uma solução única. Isso porque, com o determinante diferente de zero, o sistema estará sempre resolvido independentemente de .

Resposta

Os valores de devem ser diferentes de 2 e -3, ou seja, e , e pode ser qualquer número real.

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