Liste sete vetores pertencentes ao conjunto [v1, v2] onde v1=[l3 1 2] e v2=[r-4 0 1], mostre os escalares usados em v1 e v2 para gerá-lo.

Passo 1

Então, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores:
v1 = 3 1 2 e v2 = -4 0 1
O conjunto representa todas as combinações lineares desses dois vetores. Isso significa que qualquer vetor nesse conjunto pode ser obtido multiplicando cada vetor por um número escalar (que podem ser diferentes para cada vetor) e somando os resultados. Nosso objetivo aqui é listar sete vetores desse conjunto e mostrar quais escalares e usamos para cada um deles.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma combinação linear. Se temos dois vetores v = a cdot v1 + b cdot v2 e , uma combinação linear deles é dada por:
onde e são números reais (escalars). Isso significa que para cada par de escalares e , obtemos um vetor diferente no conjunto .

Passo 3

Vamos agora escolher sete pares de escalares e diferentes para gerar sete vetores distintos. Para cada par de escalares, calculamos o vetor resultante usando a combinação linear acima.

Passo 4

Vetor 1:
Escolhemos v = 1 cdot v1 + 0 cdot v2 = 3 1 2 + 0 0 0 = 3 1 2 e .
Escalares usados: ,

Passo 5

Vetor 2:
Escolhemos v = 0 cdot v1 + 1 cdot v2 = 0 0 0 + -4 0 1 = -4 0 1 e .
Escalares usados: ,

Passo 6

Vetor 3:
Escolhemos v = 2 cdot v1 + 3 cdot v2 = 2 cdot 3 1 2 + 3 cdot -4 0 1 = 6 2 4 + -12 0 3 = -6 2 7 e .
Escalares usados: ,

Passo 7

Vetor 4:
Escolhemos v = -1 cdot v1 + 4 cdot v2 = -1 cdot 3 1 2 + 4 cdot -4 0 1 = -3 -1 -2 + -16 0 4 = -19 -1 2 e .
Escalares usados: ,

Passo 8

Vetor 5:
Escolhemos v = 3 cdot v1 + (-2) cdot v2 = 3 cdot 3 1 2 + (-2) cdot -4 0 1 = 9 3 6 + 8 0 -2 = 17 3 4 e .
Escalares usados: ,

Passo 9

Vetor 6:
Escolhemos v = 0.5 cdot v1 + 1.5 cdot v2 = 0.5 cdot 3 1 2 + 1.5 cdot -4 0 1 = 1.5 0.5 1 + -6 0 1.5 = -4.5 0.5 2.5 e .
Escalares usados: ,

Passo 10

Vetor 7:
Escolhemos v = -2 cdot v1 + (-3) cdot v2 = -2 cdot 3 1 2 + (-3) cdot -4 0 1 = -6 -2 -4 + 12 0 -3 = 6 -2 -7 e .
Escalares usados: ,

Resposta

Listamos sete vetores pertencentes ao conjunto 3 1 2 juntamente com os escalares utilizados para gerá-los:
  1. -4 0 1 com -6 2 7 , -19 -1 2
  2. 17 3 4 com -4.5 0.5 2.5 , 6 -2 -7
  3. com ,
  4. com ,
  5. com ,
  6. com ,
  7. com ,

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