Dados os vetores u=(2,3,-1) e v=(1,6,-3). Calcular
a) A área do paralelogramo determinado por u e v;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional, u = (2, 3, -1) e v = (1, 6, -3). A pergunta é para calcular a área do paralelogramo formado por esses dois vetores. Para isso, vamos usar a matéria de álgebra vetorial, mais especificamente o produto vetorial, que nos ajuda a encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial de dois vetores. O produto vetorial, representado por u times v, resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A magnitude desse vetor é exatamente igual à área do paralelogramo formado por u e v.
A fórmula para o produto vetorial de u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) é:
u times v = ( u2 v3 - u3 v2, u3 v1 - u1 v3, u1 v2 - u2 v1 )

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula aos nossos vetores u = (2, 3, -1) e v = (1, 6, -3).
Calculando cada componente:
  • Componente x:
    u2 v3 - u3 v2 = 3 times (-3) - (-1) times 6 = -9 + 6 = -3
  • Componente y:
    u3 v1 - u1 v3 = (-1) times 1 - 2 times (-3) = -1 + 6 = 5
  • Componente z:
    u1 v2 - u2 v1 = 2 times 6 - 3 times 1 = 12 - 3 = 9
Então, o produto vetorial é:
u times v = (-3, 5, 9)

Passo 4

Agora que temos o vetor resultante do produto vetorial, precisamos encontrar a magnitude desse vetor para descobrir a área do paralelogramo.
A fórmula para a magnitude de um vetor w = (w1, w2, w3) é:
|w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2
Aplicando isso ao nosso vetor u times v = (-3, 5, 9):
|u times v| = raiz(-3)^2 + 5^2 + 9^2 = raiz9 + 25 + 81 = raiz115

Resposta

A área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v é raiz115 unidades quadradas.

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