Se X e Y são independentes e uniformemente distribuídas no intervalo , calcule a densidade conjunta de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos nessa questão é que e são variáveis aleatórias independentes, distribuídas uniformemente no intervalo . A gente precisa encontrar a densidade conjunta de e . Para isso, vamos usar o método de transformações de variáveis aleatórias, que envolve calcular o determinante jacobiano.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as transformações que relacionam e com e :
Agora, precisamos expressar e em função de e . Já que , fica claro que:
Para encontrar , a partir de , substituímos por :
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante jacobiano, que é essencial para ajustar a densidade conjunta após a transformação. O jacobiano é a matriz das derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas:
Calculando as derivadas:
Então, o determinante jacobiano é:
Como estamos interessados no valor absoluto do jacobiano:
Passo 4
Sabemos que fX,Y(x,y) = 1 para 0 < x < 1 e 0 < y < 1 e fU,V(u,v) = fX,Y(x,y) cdot |J| são independentes e uniformemente distribuídos no intervalo fU,V(u,v) = 1 cdot uv^2 = uv^2 , então a densidade conjunta é:
Agora, para encontrar a densidade conjunta de e , usamos a fórmula da transformação de variáveis:
Substituindo e :
Passo 5
Por fim, precisamos determinar as condições de validade para 0 < u < 1 e 0 < uv < 1 implies u < v < infty . Como e estão no intervalo , temos:
Então, a densidade conjunta é válida para e .
Resposta
A densidade conjunta de fU,V(u,v) = uv^2 para 0 < u < 1 e u < v < infty e é dada por: