Se X e Y são independentes e uniformemente distribuídas no intervalo (0,1), calcule a densidade conjunta de
U=XeV=X / Y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos nessa questão é que e são variáveis aleatórias independentes, distribuídas uniformemente no intervalo . A gente precisa encontrar a densidade conjunta de e . Para isso, vamos usar o método de transformações de variáveis aleatórias, que envolve calcular o determinante jacobiano.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as transformações que relacionam U = X e V = XY com X = U e V = UY implies Y = UV :
X = U
Y = UV
Agora, precisamos expressar e em função de e . Já que , fica claro que:
Para encontrar , a partir de , substituímos por :
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante jacobiano, que é essencial para ajustar a densidade conjunta após a transformação. O jacobiano J = partial Xpartial U & partial Xpartial V partial Ypartial U & partial Ypartial V é a matriz das derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas:
partial Xpartial U = 1, partial Xpartial V = 0
Calculando as derivadas:
partial Ypartial U = 1V, partial Ypartial V = -UV^2
|J| = 1 & 0 1V & -UV^2 = (1) (-UV^2) - (0) (1V) = -UV^2
Então, o determinante jacobiano é:
|J| = UV^2
Como estamos interessados no valor absoluto do jacobiano:

Passo 4

Sabemos que fX,Y(x,y) = 1 para 0 < x < 1 e 0 < y < 1 e fU,V(u,v) = fX,Y(x,y) cdot |J| são independentes e uniformemente distribuídos no intervalo fU,V(u,v) = 1 cdot uv^2 = uv^2 , então a densidade conjunta é:
Agora, para encontrar a densidade conjunta de e , usamos a fórmula da transformação de variáveis:
Substituindo e :

Passo 5

Por fim, precisamos determinar as condições de validade para 0 < u < 1 e 0 < uv < 1 implies u < v < infty . Como e estão no intervalo , temos:
Então, a densidade conjunta é válida para e .

Resposta

A densidade conjunta de fU,V(u,v) = uv^2 para 0 < u < 1 e u < v < infty e é dada por:

Exercícios relacionados