Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a densidade conjunta de duas novas variáveis e . Vamos trabalhar com transformação de variáveis, que é uma técnica da estatística para encontrar a densidade de novas variáveis a partir de variáveis já conhecidas. Para resolver isso, vamos precisar usar o jacobiano, que ajuda a ajustar a densidade quando fazemos mudanças de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as transformações que relacionam e com e . Temos:
Agora, precisamos expressar e em função de e . Vamos resolver esse sistema de equações.
Passo 3
Vamos isolar e :
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, resolvendo para :
E então, substituindo de volta para encontrar :
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o jacobiano da transformação. O jacobiano é a matriz das derivadas parciais das antigas variáveis em relação às novas. Temos:
Como o determinante do jacobiano representa uma área, consideramos o valor absoluto:
|J| = 12V
Passo 5
Para encontrar a densidade conjunta de fU,V(u, v) = fX,Y( raizu cdot v, raizuv ) cdot |J| e fU,V(u, v) = fX,Y( raizu cdot v, raizuv ) cdot 12v , usamos a fórmula da transformação de variáveis:
Substituindo o valor do jacobiano:
Resposta
A densidade conjunta de fU,V(u, v) = 12v cdot fX,Y( raizu cdot v, raizuv ) e é: