Encontre a densidade conjunta de U=XY e V= X / Y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a densidade conjunta de duas novas variáveis e . Vamos trabalhar com transformação de variáveis, que é uma técnica da estatística para encontrar a densidade de novas variáveis a partir de variáveis já conhecidas. Para resolver isso, vamos precisar usar o jacobiano, que ajuda a ajustar a densidade quando fazemos mudanças de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as transformações que relacionam U = X cdot Y e V = XY com e . Temos:
Agora, precisamos expressar e em função de e . Vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 3

Vamos isolar X = V cdot Y e U = (V cdot Y) cdot Y = V cdot Y^2 :
Da segunda equação:
Y^2 = UV implies Y = raizUV
Substituindo na primeira equação:
X = V cdot raizUV = raizU cdot V
Agora, resolvendo para X = raizU cdot V :
Y = raizUV
E então, substituindo de volta para encontrar :
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o jacobiano da transformação. O jacobiano é a matriz das derivadas parciais das antigas variáveis em relação às novas. Temos:
J = partial Xpartial U & partial Xpartial V partial Ypartial U & partial Ypartial V
Calculando as derivadas:
partial Xpartial U = 12 cdot VraizU cdot V = 12 cdot raizVraizU
partial Xpartial V = 12 cdot UraizU cdot V = 12 cdot raizUraizV
partial Ypartial U = 12 cdot 1raizU cdot V = 12 cdot 1raizU cdot V
partial Ypartial V = -12 cdot UV^2 cdot raizUV = -12 cdot raizUV^3/2
Então, a matriz jacobiana fica:
J = raizV2raizU & raizU2raizV 12raizU cdot V & -raizU2V^3/2
Agora, calculamos o determinante do jacobiano:
|J| = ( raizV2raizU ) ( -raizU2V^3/2 ) - ( raizU2raizV ) ( 12raizU cdot V )
Simplificando:
|J| = -14V - 14V = -12V
Como o determinante do jacobiano representa uma área, consideramos o valor absoluto:
|J| = 12V

Passo 5

Para encontrar a densidade conjunta de fU,V(u, v) = fX,Y( raizu cdot v, raizuv ) cdot |J| e fU,V(u, v) = fX,Y( raizu cdot v, raizuv ) cdot 12v , usamos a fórmula da transformação de variáveis:
Substituindo o valor do jacobiano:

Resposta

A densidade conjunta de fU,V(u, v) = 12v cdot fX,Y( raizu cdot v, raizuv ) e é:

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