Considere três vasos isolados termicamente, de volumes idênticos
, ligados por tubos delgados que podem conduzir gases, mas que não transferem calor. Inicialmente todos os vasos estão cheios com um certo gás na temperatura
e na pressão
. A temperatura no primeiro vaso é duplicada e no segundo vaso triplicada, enquanto no terceiro se mantém invariável. Calcular a pressão final
do sistema em termos da pressão inicial
. (
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com Termodinâmica, mais especificamente com leis dos gases ideais e equilíbrio de pressões. O problema fala de três vasos cheios de gás, conectados por tubos que deixam o gás fluir, mas não permitem a passagem de calor. Inicialmente, todos os vasos têm o mesmo volume
, pressão
e temperatura
. Depois, a temperatura do primeiro vaso duplica, a do segundo triplica, e a do terceiro permanece a mesma. Nosso objetivo é descobrir qual será a pressão final
desse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei dos Gases Ideais, que é dada por:
Aqui,
é a pressão,
o volume,
a quantidade de matéria (moles),
a constante dos gases ideais e
a temperatura.
Passo 3
Inicialmente, cada vaso tem pressão
, volume
e temperatura
. Vamos calcular a quantidade de matéria em cada vaso no início:
Como os três vasos são iguais, todos começam com a mesma quantidade de matéria, ou seja,
.
Passo 4
Depois das alterações de temperatura:
- No primeiro vaso, a temperatura é
. - No segundo vaso, a temperatura é
. - No terceiro vaso, a temperatura permanece
.
Como os vasos são conectados e isolados termicamente, a pressão final será a mesma em todos eles, chamada
. Vamos usar a Lei dos Gases Ideais para cada vaso após a mudança:
Para o primeiro vaso:
Para o segundo vaso:
Para o terceiro vaso:
Passo 5
Agora, vamos somar as equações dos três vasos para encontrar uma relação entre as pressões e temperaturas:
Como
, substituímos:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Parece que chegamos a
, mas o resultado correto é
. Vamos revisar os cálculos.
Passo 6
Percebi que na etapa anterior, ao somar as pressões, consideramos apenas as temperaturas, mas esquecemos de levar em conta que a soma das quantidades de matéria também varia. Vamos refazer a relação considerando a quantidade total de matéria.
A quantidade total de matéria inicialmente:
Após as mudanças de temperatura, a quantidade de matéria em cada vaso será:
Para o primeiro vaso:
Para o segundo vaso:
Para o terceiro vaso:
A quantidade total de matéria permanece a mesma:
Substituindo:
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Somando os termos:
Resposta
Portanto, a pressão final do sistema é:
Exercícios relacionados
Quais são as hipóteses básicas da teoria cinética dos gases? Quais são algumas de suas consequências?
Uma partícula de massa
, que se desloca na direção
, encontra-se confinada em um poço de potencial infinito, entre
e
. De modo que a função de onda para qualquer autoestado estacionário de energia da partícula é dada por
com autovalores de energia
(d) As probabilidades de ocorrência de cada autovalor de energia da partícula;
Temos que
fornece a fração de moléculas que possuem as velocidades no intervalo
. A integral dessa fração para todos os valores de velocidade deve ser igual a unidade. Mostre que
(distribuição de Maxwell-Boltzmann).