Considere três vasos isolados termicamente, de volumes idênticos V, ligados por tubos delgados que podem conduzir gases, mas que não transferem calor. Inicialmente todos os vasos estão cheios com um certo gás na temperatura T0 e na pressão P0. A temperatura no primeiro vaso é duplicada e no segundo vaso triplicada, enquanto no terceiro se mantém invariável. Calcular a pressão final P^prime do sistema em termos da pressão inicial P0. ( P^prime= (18 / 11) P0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com Termodinâmica, mais especificamente com leis dos gases ideais e equilíbrio de pressões. O problema fala de três vasos cheios de gás, conectados por tubos que deixam o gás fluir, mas não permitem a passagem de calor. Inicialmente, todos os vasos têm o mesmo volume V, pressão P0 e temperatura T0. Depois, a temperatura do primeiro vaso duplica, a do segundo triplica, e a do terceiro permanece a mesma. Nosso objetivo é descobrir qual será a pressão final P^prime desse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei dos Gases Ideais, que é dada por:
PV = nRT
Aqui, P é a pressão, V o volume, n a quantidade de matéria (moles), R a constante dos gases ideais e T a temperatura.

Passo 3

Inicialmente, cada vaso tem pressão P0, volume V e temperatura T0. Vamos calcular a quantidade de matéria em cada vaso no início:
n1 = P0 VR T0
Como os três vasos são iguais, todos começam com a mesma quantidade de matéria, ou seja, n1 = n2 = n3 = P0 VR T0.

Passo 4

Depois das alterações de temperatura:
  • No primeiro vaso, a temperatura é 2T0.
  • No segundo vaso, a temperatura é 3T0.
  • No terceiro vaso, a temperatura permanece T0.
Como os vasos são conectados e isolados termicamente, a pressão final será a mesma em todos eles, chamada P^prime. Vamos usar a Lei dos Gases Ideais para cada vaso após a mudança:
Para o primeiro vaso:
P^prime V = n1 R (2T0)
Para o segundo vaso:
P^prime V = n2 R (3T0)
Para o terceiro vaso:
P^prime V = n3 R T0

Passo 5

Agora, vamos somar as equações dos três vasos para encontrar uma relação entre as pressões e temperaturas:
3P^prime V = n1 R (2T0) + n2 R (3T0) + n3 R T0
Como n1 = n2 = n3 = P0 VR T0, substituímos:
3P^prime V = P0 VR T0 R (2T0) + P0 VR T0 R (3T0) + P0 VR T0 R T0
Simplificando:
3P^prime V = 2P0 V + 3P0 V + P0 V = 6P0 V
Dividindo ambos os lados por 3V:
P^prime = 6P0 V3V = 2P0
Parece que chegamos a P^prime = 2P0, mas o resultado correto é 1811 P0. Vamos revisar os cálculos.

Passo 6

Percebi que na etapa anterior, ao somar as pressões, consideramos apenas as temperaturas, mas esquecemos de levar em conta que a soma das quantidades de matéria também varia. Vamos refazer a relação considerando a quantidade total de matéria.
A quantidade total de matéria inicialmente:
ntotal = n1 + n2 + n3 = 3 times P0 VR T0 = 3P0 VR T0
Após as mudanças de temperatura, a quantidade de matéria em cada vaso será:
Para o primeiro vaso:
n1' = P^prime VR (2T0)
Para o segundo vaso:
n2' = P^prime VR (3T0)
Para o terceiro vaso:
n3' = P^prime VR T0
A quantidade total de matéria permanece a mesma:
n1' + n2' + n3' = ntotal
Substituindo:
P^prime V2R T0 + P^prime V3R T0 + P^prime VR T0 = 3P0 VR T0
Multiplicando ambos os lados por 6R T0 / V para simplificar:
3P^prime + 2P^prime + 6P^prime = 18P0
Somando os termos:
11P^prime = 18P0

Resposta

Portanto, a pressão final do sistema é:
P^prime = 1811 P0

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