A velocidade de escape na superfície de um planeta de raio é , onde é a aceleração da gravidade na superfície do planeta. (a) Em que temperatura a velocidade quadrática média das moléculas de é igual a velocidade de escape na superfície
da Terra? (b) Em que temperatura a velocidade quadrática média das moléculas de é igual a velocidade de escape na superfície da Terra? © As temperaturas na atmosfera superior chegam a 1000 K . Como explicar a pequena abundância de hidrogênio na atmosfera terrestre? (d) Calcule as temperaturas onde as velocidades médias quadráticas do e do são iguais a velocidade se escape na lua, onde é cerca de um sexto da aceleração da gravidade na superfície terrestre e . Como explicar a ausência de atmosfera na lua? ( .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre velocidade de escape e velocidade quadrática média das moléculas de gases como e na superfície da Terra e da Lua. A gente vai precisar entender como essas velocidades estão relacionadas com a temperatura dos gases e a gravidade dos corpos celestes em questão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a velocidade de escape. A velocidade de escape ( ) é a velocidade mínima que um objeto precisa atingir para escapar da atração gravitacional de um planeta sem mais propulsão. A fórmula dada é:
Aqui, é a aceleração da gravidade na superfície do planeta e é o raio do planeta.

Passo 3

Agora, a velocidade quadrática média ( ) das moléculas de um gás está relacionada à temperatura através da fórmula:
Onde:
  • é a constante de Boltzmann,
  • é a temperatura,
  • é a massa da molécula.
Queremos encontrar a temperatura em que é igual a .

Passo 4

Igualando as duas velocidades:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Isolando :

Passo 5

Vamos resolver a parte (a): Encontrar a temperatura em que a velocidade quadrática média das moléculas de é igual à velocidade de escape na superfície da Terra.
Os dados são:
  • ² (aceleração da gravidade na Terra),
  • (raio da Terra),
  • Massa molecular do : ,
  • .
Vamos substituir esses valores na fórmula de :
Calculando isso, chegamos a:

Passo 6

Na parte (b), queremos a temperatura para que a velocidade quadrática média das moléculas de seja igual à velocidade de escape na Terra.
Dados:
  • Massa molecular do : .
Usando a mesma fórmula:
Calculando:

Passo 7

Na parte ©, é perguntado por que, apesar das temperaturas na atmosfera superior chegarem a 1000 K, há pouca quantidade de hidrogênio na atmosfera terrestre.
A resposta está no fato de que a temperatura necessária para que a velocidade quadrática média das moléculas de escape da Terra é de aproximadamente , muito maior que os 1000 K observados. Isso significa que, mesmo com temperaturas elevadas, não é suficiente para que muitas moléculas de hidrogênio escapem facilmente. Além disso, a Terra possui um campo gravitacional forte o bastante para reter a maior parte do hidrogênio.

Passo 8

Na parte (d), vamos calcular as temperaturas onde as velocidades médias quadráticas do e do são iguais à velocidade de escape na Lua.
Dados da Lua:
  • ²²,
  • .
Para :
Para :

Resposta

As temperaturas onde as velocidades médias quadráticas das moléculas de e são iguais à velocidade de escape na Lua são aproximadamente e , respectivamente. A ausência de atmosfera na Lua se explica porque as temperaturas necessárias para que as moléculas escapem são muito altas comparadas às temperaturas reais do ambiente lunar, permitindo que praticamente nenhuma molécula consiga escapar facilmente da gravidade lunar.

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