A velocidade de escape na superfície de um planeta de raio R é ve=raiz2 g R, onde g é a aceleração da gravidade na superfície do planeta. (a) Em que temperatura a velocidade quadrática média das moléculas de O2 é igual a velocidade de escape na superfície
da Terra? (b) Em que temperatura a velocidade quadrática média das moléculas de H2 é igual a velocidade de escape na superfície da Terra? © As temperaturas na atmosfera superior chegam a 1000 K . Como explicar a pequena abundância de hidrogênio na atmosfera terrestre? (d) Calcule as temperaturas onde as velocidades médias quadráticas do O2 e do H2 são iguais a velocidade se escape na lua, onde g é cerca de um sexto da aceleração da gravidade na superfície terrestre e R=1738 Km. Como explicar a ausência de atmosfera na lua? ( 1,60 times 10^5 K ; 1,0 times 10^4 K ; 7,83 times 10^3 K ; 455 K).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre velocidade de escape e velocidade quadrática média das moléculas de gases como O2 e H2 na superfície da Terra e da Lua. A gente vai precisar entender como essas velocidades estão relacionadas com a temperatura dos gases e a gravidade dos corpos celestes em questão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a velocidade de escape. A velocidade de escape ( ve) é a velocidade mínima que um objeto precisa atingir para escapar da atração gravitacional de um planeta sem mais propulsão. A fórmula dada é:
ve = raiz2 g R
Aqui, g é a aceleração da gravidade na superfície do planeta e R é o raio do planeta.

Passo 3

Agora, a velocidade quadrática média ( vrms) das moléculas de um gás está relacionada à temperatura através da fórmula:
vrms = raiz3 kB Tm
Onde:
  • kB é a constante de Boltzmann,
  • T é a temperatura,
  • m é a massa da molécula.
Queremos encontrar a temperatura T em que vrms é igual a ve.

Passo 4

Igualando as duas velocidades:
raiz3 kB Tm = raiz2 g R
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
3 kB Tm = 2 g R
Isolando T:
T = 2 g R m3 kB

Passo 5

Vamos resolver a parte (a): Encontrar a temperatura em que a velocidade quadrática média das moléculas de O2 é igual à velocidade de escape na superfície da Terra.
Os dados são:
  • g = 9,81 , m/s²² (aceleração da gravidade na Terra),
  • R = 6.371 times 10^6 , m (raio da Terra),
  • Massa molecular do O2: m = 32 , g/mol = 0,032 , kg/mol,
  • kB = 1,38 times 10^-23 , J/K.
Vamos substituir esses valores na fórmula de T:
T = 2 times 9,81 times 6.371 times 10^6 times 0,0323 times 1,38 times 10^-23
Calculando isso, chegamos a:
T approx 1,60 times 10^5 , K

Passo 6

Na parte (b), queremos a temperatura para que a velocidade quadrática média das moléculas de H2 seja igual à velocidade de escape na Terra.
Dados:
  • Massa molecular do H2: m = 2 , g/mol = 0,002 , kg/mol.
Usando a mesma fórmula:
T = 2 times 9,81 times 6.371 times 10^6 times 0,0023 times 1,38 times 10^-23
Calculando:
T approx 1,0 times 10^4 , K

Passo 7

Na parte ©, é perguntado por que, apesar das temperaturas na atmosfera superior chegarem a 1000 K, há pouca quantidade de hidrogênio na atmosfera terrestre.
A resposta está no fato de que a temperatura necessária para que a velocidade quadrática média das moléculas de H2 escape da Terra é de aproximadamente 1,0 times 10^4 , K, muito maior que os 1000 K observados. Isso significa que, mesmo com temperaturas elevadas, não é suficiente para que muitas moléculas de hidrogênio escapem facilmente. Além disso, a Terra possui um campo gravitacional forte o bastante para reter a maior parte do hidrogênio.

Passo 8

Na parte (d), vamos calcular as temperaturas onde as velocidades médias quadráticas do O2 e do H2 são iguais à velocidade de escape na Lua.
Dados da Lua:
  • glua = 16 times 9,81 , m/s² approx 1,635 , m/s²²²,
  • R = 1.738 times 10^3 , m.
Para O2:
T = 2 times 1,635 times 1.738 times 10^3 times 0,0323 times 1,38 times 10^-23 approx 7,83 times 10^3 , K
Para H2:
T = 2 times 1,635 times 1.738 times 10^3 times 0,0023 times 1,38 times 10^-23 approx 455 , K

Resposta

As temperaturas onde as velocidades médias quadráticas das moléculas de O2 e H2 são iguais à velocidade de escape na Lua são aproximadamente 7,83 times 10^3 , K e 455 , K, respectivamente. A ausência de atmosfera na Lua se explica porque as temperaturas necessárias para que as moléculas escapem são muito altas comparadas às temperaturas reais do ambiente lunar, permitindo que praticamente nenhuma molécula consiga escapar facilmente da gravidade lunar.

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