Temos que f(v) d v fornece a fração de moléculas que possuem as velocidades no intervalo d v. A integral dessa fração para todos os valores de velocidade deve ser igual a unidade. Mostre que integral0^infty f(v) d v=1 com f(v)=4raizpi(m2 k T)^3 / 2 v^2 e^-m v^22 k (distribuição de Maxwell-Boltzmann).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f(v) $ que representa a fração de moléculas com velocidades no intervalo $ dv $. A tarefa é mostrar que, ao integrar essa fração para todas as velocidades possíveis, o resultado é 1. Isso faz sentido porque todas as frações devem somar 100% das moléculas. Vamos usar a distribuição de Maxwell-Boltzmann para resolver isso.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a integral que queremos calcular:
integral0^infty f(v) , dv = integral0^infty 4raizpi ( m2kT )^3/2 v^2 e^-mv^22kT , dv

Passo 3

Observamos que a integral tem a forma:
integral0^infty v^2 e^-a v^2 , dv
onde $ a = \frac{m}{2kT} $. Precisamos calcular essa integral geral.

Passo 4

Sabemos que uma integral conhecida é:
integral0^infty x^2 e^-a x^2 , dx = raizpi4 a^3/2
Isso nos ajuda a resolver a nossa integral.

Passo 5

Aplicando essa fórmula à nossa integral, temos:
integral0^infty v^2 e^-a v^2 , dv = raizpi4 a^3/2
Substituindo $ a = \frac{m}{2kT} $:
a = m2kT

Passo 6

Agora, substituímos de volta na nossa integral original:
integral0^infty f(v) , dv = 4raizpi ( m2kT )^3/2 cdot raizpi4 ( 2kTm )^3/2

Passo 7

Simplificamos os termos:
4raizpi cdot raizpi4 = 1
e
( m2kT )^3/2 ( 2kTm )^3/2 = 1

Passo 8

Portanto, multiplicando tudo, temos:
integral0^infty f(v) , dv = 1

Resposta

A integral de $ f(v) $ de 0 a infinito é igual a 1, ou seja,
f(v)

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