Temos que
fornece a fração de moléculas que possuem as velocidades no intervalo
. A integral dessa fração para todos os valores de velocidade deve ser igual a unidade. Mostre que
(distribuição de Maxwell-Boltzmann).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f(v) $ que representa a fração de moléculas com velocidades no intervalo $ dv $. A tarefa é mostrar que, ao integrar essa fração para todas as velocidades possíveis, o resultado é 1. Isso faz sentido porque todas as frações devem somar 100% das moléculas. Vamos usar a distribuição de Maxwell-Boltzmann para resolver isso.
Passo 2
Vamos começar escrevendo a integral que queremos calcular:
Passo 3
Observamos que a integral tem a forma:
onde $ a = \frac{m}{2kT} $. Precisamos calcular essa integral geral.
Passo 4
Sabemos que uma integral conhecida é:
Isso nos ajuda a resolver a nossa integral.
Passo 5
Aplicando essa fórmula à nossa integral, temos:
Substituindo $ a = \frac{m}{2kT} $:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na nossa integral original:
Passo 7
Simplificamos os termos:
e
Passo 8
Portanto, multiplicando tudo, temos:
Resposta
A integral de $ f(v) $ de 0 a infinito é igual a 1, ou seja,
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