Considere um triângulo equilátero cujo lado mede 6 cm e calcule:
A) o raio da circunferência inscrita nesse triângulo.
B) o raio de circunferência circunscrita a esse triângulo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo equilátero com lados de 6 cm e precisamos encontrar duas coisas:
A) O raio da circunferência inscrita nesse triângulo.
B) O raio da circunferência circunscrita a esse triângulo.
Para resolver isso, vamos precisar entender algumas propriedades de triângulos equiláteros e das circunferências inscrita e circunscrita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um triângulo equilátero: é um triângulo onde todos os três lados são iguais e todos os três ângulos também são iguais, cada um medindo 60 graus.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a circunferência inscrita. A circunferência inscrita é o círculo que toca todos os lados do triângulo internamente. O raio desse círculo é chamado de raio incircle (inradius, em inglês).

Passo 4

Para encontrar o raio da circunferência inscrita, precisamos usar a fórmula:
r = As
Onde:
  • $ r $ é o raio da circunferência inscrita,
  • $ A $ é a área do triângulo,
  • $ s $ é o semiperímetro do triângulo.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular o semiperímetro $ s $ do triângulo. O semiperímetro é metade do perímetro. Como todos os lados medem 6 cm:
s

Passo 6

Agora, vamos calcular a área $ A $ do triângulo equilátero. A fórmula para a área de um triângulo equilátero é:
A
Onde $ a $ é o lado do triângulo.
Substituindo $ a = 6 $ cm:
A = raiz34 times a^2 ²

Passo 7

Agora que temos $ A = 9\sqrt{3} $ cm² e $ s = 9 $ cm, podemos encontrar o raio $ r $:
A = 9raiz3

Passo 8

Então, o raio da circunferência inscrita no triângulo é $ \sqrt{3} $ cm.

Passo 9

Agora, vamos para a circunferência circunscrita, que é o círculo que passa por todos os vértices do triângulo. O raio desse círculo é chamado de raio circunradius (circumradius, em inglês).

Passo 10

Para encontrar o raio da circunferência circunscrita, usamos a fórmula:
R = araiz3
Onde $ R $ é o raio da circunferência circunscrita e $ a $ é o lado do triângulo.

Passo 11

Substituindo $ a = 6 $ cm na fórmula:
a = 6

Resposta

A) O raio da circunferência inscrita é $ \sqrt{3} $ cm.
B) O raio da circunferência circunscrita é $ 2\sqrt{3} $ cm.

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