Uma prova era constituída de dois problemas. 300 alunos acertaram somente um dos problemas, 260 acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma prova com dois problemas e nos dá informações sobre quantos alunos acertaram cada um ou ambos. Vamos usar conceitos de conjuntos para descobrir quantos alunos fizeram a prova. Precisamos entender como esses grupos de alunos se sobrepõem para chegar ao total.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
- 300 alunos acertaram somente um dos problemas: isso quer dizer que alguns acertaram só o primeiro, outros só o segundo, somando 300.
- 260 alunos acertaram o segundo problema: esse número inclui quem acertou só o segundo e quem acertou os dois.
- 100 alunos acertaram os dois problemas: esses estão incluídos nos 260 que acertaram o segundo.
- 210 alunos erraram o primeiro problema: ou seja, eles não acertaram o primeiro, mas podem ter acertado o segundo ou nenhum.
Passo 3
Vamos usar a notação de conjuntos para facilitar. Seja:
- $ A $ = alunos que acertaram o primeiro problema.
- $ B $ = alunos que acertaram o segundo problema.
- $ A \cap B $ = alunos que acertaram os dois problemas.
- $ A \cup B $ = total de alunos que acertaram pelo menos um dos problemas.
Sabemos que:
- $ |A \cap B| = 100 $ (alunos que acertaram os dois).
- $ |B| = 260 $ (alunos que acertaram o segundo).
Passo 4
Queremos descobrir quantos alunos acertaram apenas o segundo problema. Isso é $ |B| - |A \cap B| $:
Então, 160 alunos acertaram somente o segundo problema.
Passo 5
Sabemos que 300 alunos acertaram somente um dos problemas. Já encontramos que 160 deles acertaram só o segundo. Então, os que acertaram somente o primeiro problema são:
Então, 140 alunos acertaram somente o primeiro problema.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o total de alunos que acertaram o primeiro problema ($ |A| $):
Então, 240 alunos acertaram o primeiro problema.
Passo 7
Sabemos que 210 alunos erraram o primeiro problema. Isso significa que:
Resposta
450 alunos fizeram a prova.