Uma prova era constituída de dois problemas. 300 alunos acertaram somente um dos problemas, 260 acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma prova com dois problemas e nos dá informações sobre quantos alunos acertaram cada um ou ambos. Vamos usar conceitos de conjuntos para descobrir quantos alunos fizeram a prova. Precisamos entender como esses grupos de alunos se sobrepõem para chegar ao total.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • 300 alunos acertaram somente um dos problemas: isso quer dizer que alguns acertaram só o primeiro, outros só o segundo, somando 300.
  • 260 alunos acertaram o segundo problema: esse número inclui quem acertou só o segundo e quem acertou os dois.
  • 100 alunos acertaram os dois problemas: esses estão incluídos nos 260 que acertaram o segundo.
  • 210 alunos erraram o primeiro problema: ou seja, eles não acertaram o primeiro, mas podem ter acertado o segundo ou nenhum.

Passo 3

Vamos usar a notação de conjuntos para facilitar. Seja:
  • $ A $ = alunos que acertaram o primeiro problema.
  • $ B $ = alunos que acertaram o segundo problema.
  • $ A \cap B $ = alunos que acertaram os dois problemas.
  • $ A \cup B $ = total de alunos que acertaram pelo menos um dos problemas.
Sabemos que:
  • $ |A \cap B| = 100 $ (alunos que acertaram os dois).
  • $ |B| = 260 $ (alunos que acertaram o segundo).

Passo 4

Queremos descobrir quantos alunos acertaram apenas o segundo problema. Isso é $ |B| - |A \cap B| $:
|B| - |A cap B|
Então, 160 alunos acertaram somente o segundo problema.

Passo 5

Sabemos que 300 alunos acertaram somente um dos problemas. Já encontramos que 160 deles acertaram só o segundo. Então, os que acertaram somente o primeiro problema são:
| Somente A | = 300 - 160 = 140
Então, 140 alunos acertaram somente o primeiro problema.

Passo 6

Agora, vamos encontrar o total de alunos que acertaram o primeiro problema ($ |A| $):
|A|
Então, 240 alunos acertaram o primeiro problema.

Passo 7

Sabemos que 210 alunos erraram o primeiro problema. Isso significa que:
Total de alunos = |A| + Que erraram o primeiro = 240 + 210 = 450

Resposta

450 alunos fizeram a prova.

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