Considere o triângulo triang<= O A B com A(2, 37) e B(-411, 2). Calcule o ponto X=A+t A B no segmento A B
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e também pertencente à reta bissetriz. Assinale o valor de 0 que define o ponto de interseção com aproximação na terceira casa decimal (Justifique a sua resposta apresentando os cálculos):
A. 0.502
B. 0.504
C. 0.508
D. 0.506
E. 0.498
F. 0.500

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um triângulo triang<= OAB com os pontos A(2, 37) e B(-411, 2). Queremos encontrar o ponto X que está no segmento AB e também na reta bissetriz do ângulo em O. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e equações de bissetriz.

Passo 2

Vamos começar encontrando o vetor AB. O vetor entre dois pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) é dado por:
AB = (x2 - x1, y2 - y1)
Substituindo os valores de A e B:
AB = (-411 - 2, 2 - 37) = (-2611, 117)

Passo 3

O ponto X no segmento AB pode ser representado como:
X = A + t AB
Onde 0 < t < 1. Vamos substituir A e AB:
X = (2, 37) + t (-2611, 117) = (2 - 26t11, 37 + 11t7)
Portanto, as coordenadas de X são:
Xx = 2 - 26t11
Xy = 37 + 11t7

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a equação da reta bissetriz do ângulo em O. A bissetriz divide o ângulo em duas partes iguais. Para isso, usamos as coordenadas dos pontos A e B para encontrar as direções dos lados OA e OB.
Primeiro, vamos encontrar as inclinações das retas OA e OB:
mOA = 37 - 02 - 0 = 314
mOB = 2 - 0-411 - 0 = -224 = -112

Passo 5

A inclinação da bissetriz pode ser encontrada usando a fórmula:
mbissetriz = mOA + mOB1 + mOAmOB
Substituindo os valores:
mbissetriz = 314 - 1121 + (314)(-112) = -25141 - 3328 = -2514-528 = -2514 times 28-5 = 10
Então, a inclinação da bissetriz é m = 10.

Passo 6

A equação da reta bissetriz que passa pela origem (0,0) é:
y = 10x
Agora, sabemos que o ponto X está nessa reta, então suas coordenadas devem satisfazer essa equação:
Xy = 10 Xx
Substituindo as expressões de Xx e Xy:
37 + 11t7 = 10 (2 - 26t11)

Passo 7

Vamos resolver a equação para encontrar o valor de t:
37 + 11t7 = 20 - 260t11
Multiplicando todos os termos por 77 (mínimo múltiplo comum de 7 e 11) para eliminar os denominadores:
33 + 121t = 1540 - 1820t
Somando 1820t aos dois lados:
33 + 1941t = 1540
Subtraindo 33 dos dois lados:
1941t = 1507
Dividindo ambos os lados por 1941:
t = 15071941 approx 0,776
No entanto, esse valor de t está acima de 1, o que não está de acordo com o intervalo 0 < t < 1. Isso indica que houve um erro nos cálculos anteriores. Vamos revisar o Passo 5.

Passo 8

Na verdade, a fórmula utilizada para a inclinação da bissetriz está incorreta. A bissetriz interna não é simplesmente a média das inclinações. Vamos usar outra abordagem: a bissetriz divide o ângulo de forma que as distâncias aos lados sejam proporcionais aos comprimentos dos lados.
A fórmula correta para encontrar a coordenada de X na bissetriz é usando a razão dos comprimentos dos lados adjacentes. Portanto:
AOBO = ||OA||||OB||
Calculando as magnitudes:
||OA|| = raiz2^2 + (37)^2 = raiz4 + 949 = raiz20549 = raiz2057
||OB|| = raiz(-411)^2 + 2^2 = raiz16121 + 4 = raiz500121 = raiz50011
A razão é:
||OA||||OB|| = raiz2057raiz50011 = 11raiz2057raiz500 = 11raiz2057 times 10raiz5 = 11raiz4170raiz5
Isso complica bastante a resolução. Vamos simplificar assumindo que a bissetriz divide o segmento AB na mesma razão das magnitudes dos lados.

Passo 9

Assumindo que X está na bissetriz, a razão em que X divide AB é igual à razão das magnitudes dos lados adjacentes:
AXXB = ||OA||||OB||
Como X = A + t AB, temos AX = t cdot AB e XB = (1 - t) cdot AB. Assim:
t1 - t = ||OA||||OB||
Resolvendo para t:
t = ||OA||||OA|| + ||OB||
Substituindo as magnitudes:
t = raiz2057raiz2057 + raiz50011 = 11raiz20511raiz205 + 7raiz500 approx 11 times 14.318511 times 14.3185 + 7 times 22.3607 approx 157.5035157.5035 + 156.525 approx 157.5035314.0285 approx 0.502

Resposta

O valor de t que define o ponto de interseção é aproximadamente 0,502.
Alternativa A. 0.502

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