Considere o triângulo com e . Calcule o ponto no segmento pts
e também pertencente à reta bissetriz. Assinale o valor de que define o ponto de interseção com aproximação na terceira casa decimal (Justifique a sua resposta apresentando os cálculos):
A. 0.502
B. 0.504
C. 0.508
D. 0.506
E. 0.498
F. 0.500
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um triângulo com os pontos e . Queremos encontrar o ponto que está no segmento e também na reta bissetriz do ângulo em . Para isso, vamos usar conceitos de vetores e equações de bissetriz.
Passo 2
Vamos começar encontrando o vetor . O vetor entre dois pontos e é dado por:
Substituindo os valores de e :
Passo 3
O ponto no segmento pode ser representado como:
Onde . Vamos substituir e :
Portanto, as coordenadas de são:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a equação da reta bissetriz do ângulo em . A bissetriz divide o ângulo em duas partes iguais. Para isso, usamos as coordenadas dos pontos e para encontrar as direções dos lados e .
Primeiro, vamos encontrar as inclinações das retas e :
Passo 5
A inclinação da bissetriz pode ser encontrada usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Então, a inclinação da bissetriz é .
Passo 6
A equação da reta bissetriz que passa pela origem é:
Agora, sabemos que o ponto está nessa reta, então suas coordenadas devem satisfazer essa equação:
Substituindo as expressões de e :
Passo 7
Vamos resolver a equação para encontrar o valor de :
Multiplicando todos os termos por (mínimo múltiplo comum de e ) para eliminar os denominadores:
Somando aos dois lados:
Subtraindo dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por :
No entanto, esse valor de está acima de , o que não está de acordo com o intervalo . Isso indica que houve um erro nos cálculos anteriores. Vamos revisar o Passo 5.
Passo 8
Na verdade, a fórmula utilizada para a inclinação da bissetriz está incorreta. A bissetriz interna não é simplesmente a média das inclinações. Vamos usar outra abordagem: a bissetriz divide o ângulo de forma que as distâncias aos lados sejam proporcionais aos comprimentos dos lados.
A fórmula correta para encontrar a coordenada de na bissetriz é usando a razão dos comprimentos dos lados adjacentes. Portanto:
Calculando as magnitudes:
A razão é:
Isso complica bastante a resolução. Vamos simplificar assumindo que a bissetriz divide o segmento na mesma razão das magnitudes dos lados.
Passo 9
Assumindo que está na bissetriz, a razão em que divide é igual à razão das magnitudes dos lados adjacentes:
Como , temos e . Assim:
Resolvendo para :
Substituindo as magnitudes:
Resposta
O valor de que define o ponto de interseção é aproximadamente . Alternativa A. 0.502