Considere o triângulo com e . Calcule o ponto no segmento A B [3 pts ]
e também pertencente à reta bissetriz. Assinale o valor de 0 que define o ponto de interseção com aproximação na terceira casa decimal (Justifique a sua resposta apresentando os cálculos):
A. 0.502
B. 0.504
C. 0.508
D. 0.506
E. 0.498
F. 0.500
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um triângulo triang<= OAB com os pontos A(2, 37) e B(-411, 2). Queremos encontrar o ponto X que está no segmento AB e também na reta bissetriz do ângulo em O. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e equações de bissetriz.
Passo 2
Vamos começar encontrando o vetor AB. O vetor entre dois pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) é dado por:
AB = (x2 - x1, y2 - y1)
Substituindo os valores de A e B:
AB = (-411 - 2, 2 - 37) = (-2611, 117)
Passo 3
O ponto X no segmento AB pode ser representado como:
X = A + t AB
Onde 0 < t < 1. Vamos substituir A e AB:
X = (2, 37) + t (-2611, 117) = (2 - 26t11, 37 + 11t7)
Portanto, as coordenadas de X são:
Xx = 2 - 26t11
Xy = 37 + 11t7
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a equação da reta bissetriz do ângulo em O. A bissetriz divide o ângulo em duas partes iguais. Para isso, usamos as coordenadas dos pontos A e B para encontrar as direções dos lados OA e OB.
Primeiro, vamos encontrar as inclinações das retas OA e OB:
mOA = 37 - 02 - 0 = 314
mOB = 2 - 0-411 - 0 = -224 = -112
Passo 5
A inclinação da bissetriz pode ser encontrada usando a fórmula:
A equação da reta bissetriz que passa pela origem (0,0) é:
y = 10x
Agora, sabemos que o ponto X está nessa reta, então suas coordenadas devem satisfazer essa equação:
Xy = 10 Xx
Substituindo as expressões de Xx e Xy:
37 + 11t7 = 10 (2 - 26t11)
Passo 7
Vamos resolver a equação para encontrar o valor de t:
37 + 11t7 = 20 - 260t11
Multiplicando todos os termos por 77 (mínimo múltiplo comum de 7 e 11) para eliminar os denominadores:
33 + 121t = 1540 - 1820t
Somando 1820t aos dois lados:
33 + 1941t = 1540
Subtraindo 33 dos dois lados:
1941t = 1507
Dividindo ambos os lados por 1941:
t = 15071941 approx 0,776
No entanto, esse valor de t está acima de 1, o que não está de acordo com o intervalo 0 < t < 1. Isso indica que houve um erro nos cálculos anteriores. Vamos revisar o Passo 5.
Passo 8
Na verdade, a fórmula utilizada para a inclinação da bissetriz está incorreta. A bissetriz interna não é simplesmente a média das inclinações. Vamos usar outra abordagem: a bissetriz divide o ângulo de forma que as distâncias aos lados sejam proporcionais aos comprimentos dos lados.
A fórmula correta para encontrar a coordenada de X na bissetriz é usando a razão dos comprimentos dos lados adjacentes. Portanto: