Considere o triângulo com e . Calcule o ponto no segmento
pts
e também pertencente à reta bissetriz. Assinale o valor de que define o ponto de interseção com aproximação na terceira casa decimal (Justifique a sua resposta apresentando os cálculos):
A. 0.502
B. 0.504
C. 0.508
D. 0.506
E. 0.498
F. 0.500

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um triângulo com os pontos e . Queremos encontrar o ponto que está no segmento e também na reta bissetriz do ângulo em . Para isso, vamos usar conceitos de vetores e equações de bissetriz.

Passo 2

Vamos começar encontrando o vetor . O vetor entre dois pontos e é dado por:
Substituindo os valores de e :

Passo 3

O ponto no segmento pode ser representado como:
Onde . Vamos substituir e :
Portanto, as coordenadas de são:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a equação da reta bissetriz do ângulo em . A bissetriz divide o ângulo em duas partes iguais. Para isso, usamos as coordenadas dos pontos e para encontrar as direções dos lados e .
Primeiro, vamos encontrar as inclinações das retas e :

Passo 5

A inclinação da bissetriz pode ser encontrada usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Então, a inclinação da bissetriz é .

Passo 6

A equação da reta bissetriz que passa pela origem é:
Agora, sabemos que o ponto está nessa reta, então suas coordenadas devem satisfazer essa equação:
Substituindo as expressões de e :

Passo 7

Vamos resolver a equação para encontrar o valor de :
Multiplicando todos os termos por (mínimo múltiplo comum de e ) para eliminar os denominadores:
Somando aos dois lados:
Subtraindo dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por :
No entanto, esse valor de está acima de , o que não está de acordo com o intervalo . Isso indica que houve um erro nos cálculos anteriores. Vamos revisar o Passo 5.

Passo 8

Na verdade, a fórmula utilizada para a inclinação da bissetriz está incorreta. A bissetriz interna não é simplesmente a média das inclinações. Vamos usar outra abordagem: a bissetriz divide o ângulo de forma que as distâncias aos lados sejam proporcionais aos comprimentos dos lados.
A fórmula correta para encontrar a coordenada de na bissetriz é usando a razão dos comprimentos dos lados adjacentes. Portanto:
Calculando as magnitudes:
A razão é:
Isso complica bastante a resolução. Vamos simplificar assumindo que a bissetriz divide o segmento na mesma razão das magnitudes dos lados.

Passo 9

Assumindo que está na bissetriz, a razão em que divide é igual à razão das magnitudes dos lados adjacentes:
Como , temos e . Assim:
Resolvendo para :
Substituindo as magnitudes:

Resposta

O valor de que define o ponto de interseção é aproximadamente .
Alternativa A. 0.502

Exercícios relacionados

Se possível, escreva o vetor como combinação linear dos vetores e
Considere os pontos e e imagine uma circunferência construída no plano que
pts]
contem com centro em e que tangencia a linha reta que passa pelo segmento . Calcule a área dessa circunferência, assinalando a resposta com aproximação na terceira casa decimal (use
A. 46.291
B. 46.293
C. 46.297
D. 46.299
E. 46.295
F. 46.301
Considere os pontos e de modo que definimos o triângulo . Justifique o seguinte fato:
pts]
Fato: A direção do vetor é a direção da bissetriz do ângulo
Sejam bases ordenadas de . Determine:
(a)