Se possível, escreva o vetor w=(3,4) como combinação linear dos vetores u=(1,3) e v=(2,6)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores e . Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente trabalhando com combinações lineares de vetores. Para resolver isso, vamos precisar encontrar dois números (coeficientes) que, quando multiplicados por e e somados, resultem em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de dois vetores w = a cdot u + b cdot v e é uma expressão da forma:
onde e são números reais que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos substituir os valores dos vetores na equação:
(3, 4) = a cdot (1, 3) + b cdot (2, 6)
Isso resulta em duas equações:
1a + 2b = 3 (1ª coordenada) ª
3a + 6b = 4 (2ª coordenada) ª

Passo 4

Agora, temos um sistema de equações:
1a + 2b = 3 3a + 6b = 4
Vamos tentar resolver esse sistema. Podemos multiplicar a primeira equação por 3 para facilitar a comparação:
3a + 6b = 9
Agora, temos:
3a + 6b = 9 3a + 6b = 4

Passo 5

Observando as duas equações modificadas:
3a + 6b = 9 3a + 6b = 4
Vemos que o lado esquerdo é o mesmo, mas os lados direitos são diferentes (9 ≠ 4). Isso significa que não existe nenhum par que satisfaça ambas as equações simultaneamente.

Resposta

Não é possível expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores e .

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