Considere os pontos
e
de modo que definimos o triângulo
. Justifique o seguinte fato:
pts]
Fato: A direção do vetor
é a direção da bissetriz do ângulo
Fato: A direção do vetor
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente justificar que a direção do vetor
está na direção da bissetriz do ângulo
no triângulo
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e bissetriz de ângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a bissetriz de um ângulo. A bissetriz é uma linha que divide o ângulo em duas partes iguais. Então, queremos mostrar que o vetor
aponta exatamente nessa direção.
Passo 3
Agora, vamos explorar o vetor dado:
. Aqui,
e
são as magnitudes dos vetores
e
, respectivamente. Esse vetor é uma combinação linear de
e
ponderada pelas magnitudes dos vetores opostos.
Passo 4
Para mostrar que esse vetor está na direção da bissetriz, precisamos lembrar que a bissetriz de um ângulo em um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes. No contexto vetorial, isso significa que a combinação linear ponderada das direções dos lados adjacentes deve seguir essa proporção.
Passo 5
Calculando a direção do vetor
, percebemos que ele combina as direções de
e
de forma equilibrada, exatamente como a bissetriz faz ao dividir o ângulo em duas partes iguais. Portanto, a direção desse vetor coincide com a direção da bissetriz do ângulo
.
Resposta
Assim, concluímos que a direção do vetor
é realmente a direção da bissetriz do ângulo
no triângulo
.