Considere os pontos e de modo que definimos o triângulo . Justifique o seguinte fato:
pts]
Fato: A direção do vetor é a direção da bissetriz do ângulo

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente justificar que a direção do vetor está na direção da bissetriz do ângulo no triângulo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e bissetriz de ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a bissetriz de um ângulo. A bissetriz é uma linha que divide o ângulo em duas partes iguais. Então, queremos mostrar que o vetor aponta exatamente nessa direção.

Passo 3

Agora, vamos explorar o vetor dado: . Aqui, e são as magnitudes dos vetores e , respectivamente. Esse vetor é uma combinação linear de e ponderada pelas magnitudes dos vetores opostos.

Passo 4

Para mostrar que esse vetor está na direção da bissetriz, precisamos lembrar que a bissetriz de um ângulo em um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes. No contexto vetorial, isso significa que a combinação linear ponderada das direções dos lados adjacentes deve seguir essa proporção.

Passo 5

Calculando a direção do vetor , percebemos que ele combina as direções de e de forma equilibrada, exatamente como a bissetriz faz ao dividir o ângulo em duas partes iguais. Portanto, a direção desse vetor coincide com a direção da bissetriz do ângulo .

Resposta

Assim, concluímos que a direção do vetor é realmente a direção da bissetriz do ângulo no triângulo .

Exercícios relacionados

Considere o triângulo com e . Calcule o ponto no segmento
pts
e também pertencente à reta bissetriz. Assinale o valor de que define o ponto de interseção com aproximação na terceira casa decimal (Justifique a sua resposta apresentando os cálculos):
A. 0.502
B. 0.504
C. 0.508
D. 0.506
E. 0.498
F. 0.500
Se possível, escreva o vetor como combinação linear dos vetores e
Sejam bases ordenadas de . Determine:
(a)
Considere o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2. Sejam , e vetores em Escreva o vetor como combinação linear de e .