Considere os pontos A e B de modo que definimos o triângulo triang<= O A B. Justifique o seguinte fato:
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Fato: A direção do vetor |B| A+|A| B é a direção da bissetriz do ângulo ang<= A O B

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente justificar que a direção do vetor |B| cdot A + |A| cdot B está na direção da bissetriz do ângulo ang<= AOB no triângulo triang<= OAB. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e bissetriz de ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a bissetriz de um ângulo. A bissetriz é uma linha que divide o ângulo em duas partes iguais. Então, queremos mostrar que o vetor |B| cdot A + |A| cdot B aponta exatamente nessa direção.

Passo 3

Agora, vamos explorar o vetor dado: |B| cdot A + |A| cdot B. Aqui, |A| e |B| são as magnitudes dos vetores A e B, respectivamente. Esse vetor é uma combinação linear de A e B ponderada pelas magnitudes dos vetores opostos.

Passo 4

Para mostrar que esse vetor está na direção da bissetriz, precisamos lembrar que a bissetriz de um ângulo em um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes. No contexto vetorial, isso significa que a combinação linear ponderada das direções dos lados adjacentes deve seguir essa proporção.

Passo 5

Calculando a direção do vetor |B| cdot A + |A| cdot B, percebemos que ele combina as direções de A e B de forma equilibrada, exatamente como a bissetriz faz ao dividir o ângulo em duas partes iguais. Portanto, a direção desse vetor coincide com a direção da bissetriz do ângulo ang<= AOB.

Resposta

Assim, concluímos que a direção do vetor |B| cdot A + |A| cdot B é realmente a direção da bissetriz do ângulo ang<= AOB no triângulo triang<= OAB.

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