Sejam
bases ordenadas de
. Determine:
(a)
(a)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos três bases ordenadas de
:
O que precisamos encontrar é a matriz de transição
. Aqui,
representa a transformação identidade, ou seja, uma função que não altera os vetores. A matriz
nos ajuda a converter coordenadas de um vetor da base
para a base
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a matriz de transição
é construída pelas coordenadas dos vetores da base
expressos na base
. Ou seja, precisamos escrever cada vetor de
em termos de
.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro vetor de
, que é
. Queremos encontrar coeficientes
e
tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, .
Substituindo na primeira equa�o:
→
.
Da segunda equação,
Substituindo na primeira equa�o:
Portanto,
.
Passo 5
Agora, fazemos o mesmo para o segundo vetor de
, que é
. Queremos encontrar coeficientes
e
tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, .
Substituindo na primeira equação:
→
.
Da segunda equação,
Substituindo na primeira equação:
Portanto,
.
Passo 7
Agora que temos as coordenadas dos vetores de
na base
, podemos construir a matriz
usando esses coeficientes como colunas:
Resposta
A matriz de transição
é: