Sejam alpha=(1,0),(0,2), beta=(-1,0),(1,1), gamma=(1,1),(-1,0) bases ordenadas de R^2. Determine:
(a) [I]alpha^beta

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos três bases ordenadas de :
O que precisamos encontrar é a matriz de transição . Aqui, representa a transformação identidade, ou seja, uma função que não altera os vetores. A matriz nos ajuda a converter coordenadas de um vetor da base para a base .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a matriz de transição é construída pelas coordenadas dos vetores da base expressos na base . Ou seja, precisamos escrever cada vetor de em termos de .

Passo 3

Vamos começar com o primeiro vetor de (1,0) = a cdot (-1,0) + b cdot (1,1) , que é - a + b = 1 (componente x) . Queremos encontrar coeficientes 0 + b = 0 (componente y) e tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, .
Substituindo na primeira equa�o:
.
Portanto, .

Passo 5

Agora, fazemos o mesmo para o segundo vetor de (0,2) = c cdot (-1,0) + d cdot (1,1) , que é - c + d = 0 (componente x) . Queremos encontrar coeficientes 0 + d = 2 (componente y) e tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, .
Substituindo na primeira equação:
.
Portanto, .

Passo 7

Agora que temos as coordenadas dos vetores de [I]alpha^beta = -1 & 2 0 & 2 na base , podemos construir a matriz usando esses coeficientes como colunas:

Resposta

A matriz de transição [I]alpha^beta = -1 & 2 0 & 2 é:

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