Considere
. Calcule as seguintes derivadas parciais de ordem mista:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular derivadas parciais de segunda ordem mista da função
. Isso quer dizer que precisamos derivar a função duas vezes, cada vez em relação a uma variável diferente. Para resolver isso, vamos precisar saber como fazer derivadas parciais e aplicar as regras de diferenciação corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Lembre-se que, ao derivar em relação a
, tratamos
e
como constantes.
Aqui, a derivada de
é
,
é constante em relação a
então sua derivada é zero, e a derivada de
usando a regra da cadeia é
.
Passo 3
Agora, vamos derivar a expressão que encontramos em relação a
para obter
:
Aqui, a derivada de
em relação a
é zero, e para
usamos a regra do produto: derivada de
é 1 vezes
mais
vezes a derivada de
, que é
.
Passo 4
Vamos calcular agora
. Primeiro, derivamos
em relação a
:
Agora, derivamos essa expressão em relação a
:
A derivada de
em relação a
é
e a derivada de
em relação a
é zero, já que não há
nessa parte.
Passo 5
Finalmente, vamos calcular
. Primeiro, derivamos
em relação a
:
Agora, derivamos essa expressão em relação a
:
Como
não depende de
, sua derivada em relação a
é zero.
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem mista são: