Considere u(x, y, z)=x^3+y^2 z+e^x y. Calcule as seguintes derivadas parciais de ordem mista:
partial^2 upartial x partial y, partial^2 upartial y partial z, partial^2 upartial z partial x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular derivadas parciais de segunda ordem mista da função . Isso quer dizer que precisamos derivar a função duas vezes, cada vez em relação a uma variável diferente. Para resolver isso, vamos precisar saber como fazer derivadas parciais e aplicar as regras de diferenciação corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial upartial x = partialpartial x ( x^3 + y^2 z + e^x y ) = 3x^2 + y e^x y em relação a . Lembre-se que, ao derivar em relação a , tratamos e como constantes.
Aqui, a derivada de é , é constante em relação a então sua derivada é zero, e a derivada de usando a regra da cadeia é .

Passo 3

Agora, vamos derivar a expressão que encontramos em relação a partial^2 upartial x partial y = partialpartial y ( 3x^2 + y e^x y ) = 0 + e^x y + x y e^x y = e^x y (1 + x y) para obter :
Aqui, a derivada de em relação a é zero, e para usamos a regra do produto: derivada de é 1 vezes mais vezes a derivada de , que é .

Passo 4

Vamos calcular agora partial upartial y = partialpartial y ( x^3 + y^2 z + e^x y ) = 2y z + x e^x y . Primeiro, derivamos partial^2 upartial y partial z = partialpartial z ( 2y z + x e^x y ) = 2y + 0 = 2y em relação a :
Agora, derivamos essa expressão em relação a :
A derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é zero, já que não há nessa parte.

Passo 5

Finalmente, vamos calcular partial upartial z = partialpartial z ( x^3 + y^2 z + e^x y ) = y^2 . Primeiro, derivamos partial^2 upartial z partial x = partialpartial x ( y^2 ) = 0 em relação a :
Agora, derivamos essa expressão em relação a :
Como não depende de , sua derivada em relação a é zero.

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem mista são:
partial^2 upartial x partial y = e^x y (1 + x y)
partial^2 upartial y partial z = 2y
partial^2 upartial z partial x = 0

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