Resolva o problema de valor inicial vetorial para
por integração, usando as condições iniciais para determinar as constantes de integração. 48.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial para uma função vetorial
. A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente integração de equações diferenciais. Vamos precisar integrar a segunda derivada de
para encontrar a função original, usando as condições iniciais que nos dão informações sobre
e
.
Passo 2
Primeiro, temos a segunda derivada da função vetorial:
Para encontrar
, vamos integrar
duas vezes. Começamos integrando uma vez para obter a primeira derivada
.
Passo 3
Integrando
em relação a
, temos:
Integrando cada componente separadamente:
Calculando as integrais:
Aqui,
e
são constantes de integração que precisamos determinar.
Passo 4
Agora, vamos integrar
para encontrar
:
Calculando as integrais:
Aqui,
e
são mais constantes de integração.
Passo 5
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar as constantes de integração. As condições dadas são:
Primeiro, aplicamos
:
Isso nos dá:
Passo 6
Agora, aplicamos
:
Isso nos dá:
Resposta
Substituindo todas as constantes encontradas, a solução para
é: