Resolva o problema de valor inicial vetorial para y(t) por integração, usando as condições iniciais para determinar as constantes de integração. 48. y''(t) = 12 t^2 i - 2 t j, y(0) = 2 i - 4 j, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial para uma função vetorial . A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente integração de equações diferenciais. Vamos precisar integrar a segunda derivada de para encontrar a função original, usando as condições iniciais que nos dão informações sobre e .

Passo 2

Primeiro, temos a segunda derivada da função vetorial:
Para encontrar , vamos integrar duas vezes. Começamos integrando uma vez para obter a primeira derivada .

Passo 3

Integrando em relação a , temos:
Integrando cada componente separadamente:
Calculando as integrais:
Aqui, e são constantes de integração que precisamos determinar.

Passo 4

Agora, vamos integrar para encontrar :
Calculando as integrais:
Aqui, e são mais constantes de integração.

Passo 5

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar as constantes de integração. As condições dadas são:
Primeiro, aplicamos :
Isso nos dá:

Passo 6

Agora, aplicamos :
Isso nos dá:

Resposta

Substituindo todas as constantes encontradas, a solução para é:

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