Seja f(x, y)=x^2 y+3 x y^2. Calcule partial^2 fpartial x partial y e partial^2 fpartial y partial x.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem: e . Isso envolve calcular derivadas parciais múltiplas, que são úteis para entender como a função muda em relação a mais de uma variável ao mesmo tempo.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de partial fpartial y = partialpartial y(x^2 y) + partialpartial y(3 x y^2) em relação a partial fpartial y = x^2 + 6 x y . Lembre-se que, ao derivar em relação a , tratamos como uma constante.

Passo 3

Agora, vamos derivar partial^2 fpartial x partial y = partialpartial x(x^2 + 6 x y) em relação a partial^2 fpartial x partial y = 2x + 6y para encontrar .

Passo 4

Vamos agora calcular a primeira derivada parcial de partial fpartial x = partialpartial x(x^2 y) + partialpartial x(3 x y^2) em relação a partial fpartial x = 2x y + 3 y^2 :

Passo 5

Em seguida, derivamos partial^2 fpartial y partial x = partialpartial y(2x y + 3 y^2) em relação a partial^2 fpartial y partial x = 2x + 6y para encontrar .

Resposta

Ambas as derivadas parciais de segunda ordem são iguais a .

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