Mostre que os gráficos de
e
intersectam-se no ponto
. Determine, até o grau mais próximo, o ângulo agudo entre as retas tangentes aos gráficos de
e
no ponto
. 52.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que os gráficos das funções vetoriais
e
se cruzam no ponto
. Além disso, precisamos encontrar o ângulo agudo entre as retas tangentes a esses gráficos no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como igualar vetores para encontrar pontos de interseção e calcular derivadas para achar as retas tangentes. Também vamos usar a fórmula do ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que as curvas se intersectam no ponto
. Para isso, precisamos encontrar valores de
e
tais que
. Isso significa igualar as componentes correspondentes dos vetores. Vamos resolver o sistema de equações resultante para encontrar os parâmetros que satisfazem essa condição.
Passo 3
Depois de encontrar os valores de
e
que satisfazem
, teremos o ponto de interseção
. Esse passo confirma que as curvas realmente se cruzam nesse ponto específico.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as retas tangentes às curvas no ponto
. Para isso, calculamos as derivadas das funções vetoriais
e
em
e
, respectivamente, onde
e
são os valores encontrados no passo anterior. As derivadas nos dão os vetores tangentes às curvas nesse ponto.
Passo 5
Com os vetores tangentes
e
em mãos, podemos calcular o ângulo entre eles usando a fórmula do produto escalar:
Resolvendo essa equação para
, obtemos o ângulo agudo entre as retas tangentes.
Resposta
O ângulo agudo entre as retas tangentes aos gráficos de
e
no ponto
é de aproximadamente
graus.