Mostre que os gráficos de r1(t) e r2(t) intersectam-se no ponto P. Determine, até o grau mais próximo, o ângulo agudo entre as retas tangentes aos gráficos de r1(t) e r2(t) no ponto P. 52. r1(t) = 2e^(-t)i + cos(t)j + (t^2 + 3)k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que os gráficos das funções vetoriais r1(t) e r2(t) se cruzam no ponto P. Além disso, precisamos encontrar o ângulo agudo entre as retas tangentes a esses gráficos no ponto P. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como igualar vetores para encontrar pontos de interseção e calcular derivadas para achar as retas tangentes. Também vamos usar a fórmula do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que as curvas se intersectam no ponto P. Para isso, precisamos encontrar valores de t e s tais que . Isso significa igualar as componentes correspondentes dos vetores. Vamos resolver o sistema de equações resultante para encontrar os parâmetros que satisfazem essa condição.

Passo 3

Depois de encontrar os valores de t e s que satisfazem , teremos o ponto de interseção P. Esse passo confirma que as curvas realmente se cruzam nesse ponto específico.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as retas tangentes às curvas no ponto P. Para isso, calculamos as derivadas das funções vetoriais r1(t) e em e , respectivamente, onde e são os valores encontrados no passo anterior. As derivadas nos dão os vetores tangentes às curvas nesse ponto.

Passo 5

Com os vetores tangentes e em mãos, podemos calcular o ângulo entre eles usando a fórmula do produto escalar:
Resolvendo essa equação para theta, obtemos o ângulo agudo entre as retas tangentes.

Resposta

O ângulo agudo entre as retas tangentes aos gráficos de r1(t) e r2(t) no ponto P é de aproximadamente graus.

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