Considere um universo de 1000 pessoas, onde inicialmente, 200 pessoas estão na fila, e o restande fora. Suponha que xk é a fração de pessoas na fila na hora k. O restante das pessoas ( yk=1-xk ) não está na fila. Na hora k+1,40 % das pessoas da fila são atendidas, e 20 % das pessoas que não estavam na fila, entram nela.
(a) crie a matriz A tal que [lxk+1 yk+1]=A[lxk yk] e encontre o número de pessoas que estão na fila quando k infty (explique o procedimento…passo a passo) ( 2,5 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um universo de 1000 pessoas, com 200 na fila e o restante fora dela. Queremos modelar como esse número muda ao longo do tempo usando matrizes. Para isso, vamos usar conceitos de matriz de transição e sistemas lineares. Precisamos montar a matriz que representa como as frações de pessoas na fila e fora dela mudam de uma hora para a outra.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • é a fração de pessoas na fila na hora .
  • é a fração de pessoas fora da fila na hora .
A próxima hora, , temos duas mudanças:
  1. 40% das pessoas na fila são atendidas e saem da fila. Então, sobram das pessoas que estavam na fila.
  2. 20% das pessoas que não estavam na fila entram na fila. Então, 20% de se tornam parte da fila.
Vamos traduzir isso em fórmulas matemáticas.

Passo 3

Agora, vamos criar as equações para xk+1 = 0,6 cdot xk + 0,2 cdot yk e yk+1 = yk - 0,2 cdot yk + 0,4 cdot xk = 0,8 cdot yk + 0,4 cdot xk :
  • Para xk+1 yk+1 = 0,6 & 0,2 0,4 & 0,8 xk yk :
    A = 0,6 & 0,2 0,4 & 0,8
    Aqui, representa os 60% que ficaram na fila, e são os 20% que entraram na fila.
  • Para :
    Aqui, subtraímos os 20% de que entraram na fila e adicionamos os 40% de que saíram da fila.
Agora, podemos escrever essas equações na forma de matriz:

[



]
Então, a matriz é:

Passo 4

Agora, queremos encontrar o número de pessoas na fila quando x y = 0,6 & 0,2 0,4 & 0,8 x y tende ao infinito, ou seja, quando o sistema estaciona. Isso significa que x = 0,6x + 0,2y y = 0,4x + 0,8y e x - 0,6x = 0,2y 0,4x = 0,2y y = 2x .
Então, temos:

[
x + 2x = 1 3x = 1 x = 13



]
Isso gera o sistema de equações:
Podemos rearranjar a primeira equação:
Sabemos que (já que são frações e representam todo o universo). Substituindo :
Então, .

Resposta

Quando Número de pessoas na fila = 13 times 1000 = 333 pessoas , cerca de das pessoas estarão na fila. Como o universo tem 1000 pessoas:
ú

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