Considere um universo de 1000 pessoas, onde inicialmente, 200 pessoas estão na fila, e o restande fora. Suponha que é a fração de pessoas na fila na hora k. O restante das pessoas ( ) não está na fila. Na hora das pessoas da fila são atendidas, e das pessoas que não estavam na fila, entram nela.
(a) crie a matriz A tal que e encontre o número de pessoas que estão na fila quando (explique o procedimento…passo a passo) ( 2,5 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um universo de 1000 pessoas, com 200 na fila e o restante fora dela. Queremos modelar como esse número muda ao longo do tempo usando matrizes. Para isso, vamos usar conceitos de matriz de transição e sistemas lineares. Precisamos montar a matriz que representa como as frações de pessoas na fila e fora dela mudam de uma hora para a outra.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
é a fração de pessoas na fila na hora .
é a fração de pessoas fora da fila na hora .
A próxima hora, , temos duas mudanças:
40% das pessoas na fila são atendidas e saem da fila. Então, sobram das pessoas que estavam na fila.
20% das pessoas que não estavam na fila entram na fila. Então, 20% de se tornam parte da fila.
Vamos traduzir isso em fórmulas matemáticas.
Passo 3
Agora, vamos criar as equações para e :
Para :
Aqui, representa os 60% que ficaram na fila, e são os 20% que entraram na fila.
Para :
Aqui, subtraímos os 20% de que entraram na fila e adicionamos os 40% de que saíram da fila.
Agora, podemos escrever essas equações na forma de matriz:
[
]
Então, a matriz é:
Passo 4
Agora, queremos encontrar o número de pessoas na fila quando tende ao infinito, ou seja, quando o sistema estaciona. Isso significa que e .
Então, temos:
[
]
Isso gera o sistema de equações:
Podemos rearranjar a primeira equação:
Sabemos que (já que são frações e representam todo o universo). Substituindo :
Então, .
Resposta
Quando , cerca de das pessoas estarão na fila. Como o universo tem 1000 pessoas: