Considere um universo de 1000 pessoas, onde inicialmente, 200 pessoas estão na fila, e o restande fora. Suponha que
é a fração de pessoas na fila na hora k. O restante das pessoas (
) não está na fila. Na hora
das pessoas da fila são atendidas, e
das pessoas que não estavam na fila, entram nela.
(a) crie a matriz A tal que
e encontre o número de pessoas que estão na fila quando
(explique o procedimento…passo a passo) ( 2,5 pontos)
(a) crie a matriz A tal que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um universo de 1000 pessoas, com 200 na fila e o restante fora dela. Queremos modelar como esse número muda ao longo do tempo usando matrizes. Para isso, vamos usar conceitos de matriz de transição e sistemas lineares. Precisamos montar a matriz
que representa como as frações de pessoas na fila e fora dela mudam de uma hora para a outra.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
-
é a fração de pessoas na fila na hora . -
é a fração de pessoas fora da fila na hora .
A próxima hora,
, temos duas mudanças:
- 40% das pessoas na fila são atendidas e saem da fila. Então, sobram
das pessoas que estavam na fila. - 20% das pessoas que não estavam na fila entram na fila. Então, 20% de
se tornam parte da fila.
Vamos traduzir isso em fórmulas matemáticas.
Passo 3
Agora, vamos criar as equações para
e
:
-
Para
: Aqui,representa os 60% que ficaram na fila, e são os 20% que entraram na fila. -
Para
: Aqui, subtraímos os 20% deque entraram na fila e adicionamos os 40% de que saíram da fila.
Agora, podemos escrever essas equações na forma de matriz:
[
]
Então, a matriz
é:
Passo 4
Agora, queremos encontrar o número de pessoas na fila quando
tende ao infinito, ou seja, quando o sistema estaciona. Isso significa que
e
.
Então, temos:
[
]
Isso gera o sistema de equações:
Podemos rearranjar a primeira equação:
Sabemos que
(já que são frações e representam todo o universo). Substituindo
:
Então,
.
Resposta
Quando
, cerca de
das pessoas estarão na fila. Como o universo tem 1000 pessoas: