Suponha que a curva com a equação y=C+D t seja a melhor aproximação por mínimos quadrados para os pontos experimentais (t, y)=(0,6),(1,4),(4,1). (b) Encontre os coeficientes C e D da melhor aproximação

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os coeficientes e da equação da reta que melhor se ajusta aos pontos experimentais , e usando o método dos mínimos quadrados. Isso tá ligado ao conteúdo de regressão linear, onde a gente minimiza a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela reta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os mínimos quadrados. O objetivo é encontrar S = sumi=1^n (yi - (C + D ti))^2 e que minimizam a soma dos quadrados dos erros, ou seja:
Onde são os valores observados e os valores de .

Passo 3

Para minimizar nC + D sum ti = sum yi C sum ti + D sum ti^2 = sum ti yi , a gente precisa derivar em relação a e e igualar a zero. Isso resulta em um sistema de equações conhecido como “equações normais”:
Onde é o número de pontos, que nesse caso é 3.

Passo 4

Agora vamos calcular as somas que a gente precisa:

Passo 5

Substituindo essas somas nas equações normais, a gente tem:
3C + 5D = 11 5C + 17D = 8

Passo 6

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vou usar a eliminação aqui.
Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 5 e a segunda por 3 para igualar os coeficientes de 15C + 25D = 55 15C + 51D = 24 :
(15C + 25D) - (15C + 51D) = 55 - 24
Agora, subtraímos a segunda equação da primeira:
-26D = 31
D = -3126 approx -1,1923

Passo 7

Com o valor de 3C + 5(-3126) = 11 encontrado, vamos substituir na primeira equação original para achar 3C - 15526 = 11 :
3C = 11 + 15526 = 28626 + 15526 = 44126
C = 44126 times 3 = 44178 = 213.714 approx 5,6538

Resposta

Os coeficientes da melhor aproximação por mínimos quadrados são aproximadamente:
C approx 5,654 e D approx -1,192

Exercícios relacionados