Suponha que a curva com a equação
seja a melhor aproximação por mínimos quadrados para os pontos experimentais
. (b) Encontre os coeficientes C e D da melhor aproximação
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os coeficientes
e
da equação da reta
que melhor se ajusta aos pontos experimentais
,
e
usando o método dos mínimos quadrados. Isso tá ligado ao conteúdo de regressão linear, onde a gente minimiza a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela reta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os mínimos quadrados. O objetivo é encontrar
e
que minimizam a soma dos quadrados dos erros, ou seja:
Onde
são os valores observados e
os valores de
.
Passo 3
Para minimizar
, a gente precisa derivar
em relação a
e
e igualar a zero. Isso resulta em um sistema de equações conhecido como “equações normais”:
Onde
é o número de pontos, que nesse caso é 3.
Passo 4
Agora vamos calcular as somas que a gente precisa:
Passo 5
Substituindo essas somas nas equações normais, a gente tem:
Passo 6
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vou usar a eliminação aqui.
Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 5 e a segunda por 3 para igualar os coeficientes de
:
Agora, subtraímos a segunda equação da primeira:
Passo 7
Com o valor de
encontrado, vamos substituir na primeira equação original para achar
:
Resposta
Os coeficientes da melhor aproximação por mínimos quadrados são aproximadamente: