Obter os autovalores, se existirem, com suas multiplicidades algébrica e geométrica e os autoespaços associados as seguintes matrizes: ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os autovalores de uma matriz, junto com suas multiplicidades algébrica e geométrica, e os autoespaços associados. A matriz dada é:
Para isso, vamos precisar entender de autovalores e autovetores, e como calcular a multiplicidade algébrica (quantas vezes um autovalor aparece) e a multiplicidade geométrica (a dimensão do espaço de autovetores associados a esse autovalor).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Para isso, usamos a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade e representa os autovalores.
Calculando :
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Então, a equação característica fica:
Passo 4
Resolvendo a equação característica para encontrar os autovalores:
Portanto, os autovalores são:
Passo 5
Agora, vamos determinar a multiplicidade algébrica de cada autovalor. A multiplicidade algébrica é o número de vezes que cada autovalor aparece na equação característica.
: multiplicidade algébrica = 1
: multiplicidade algébrica = 1
Passo 6
Em seguida, vamos encontrar a multiplicidade geométrica, que é a dimensão do espaço de autovetores associados a cada autovalor. Para isso, resolvemos para cada autovalor .
Para :
Resolvendo :
Isso nos dá a condição . Assim, o espaço de soluções é:
Portanto, a multiplicidade geométrica de é 1.
Para :
Resolvendo :
Isso nos dá a condição . Assim, o espaço de soluções é:
Portanto, a multiplicidade geométrica de é 1.
Passo 7
Por fim, vamos identificar os autoespaços associados a cada autovalor. O autoespaço é o conjunto de todos os autovetores correspondentes a um autovalor, incluindo o vetor zero.
Para :
Para :
Resposta
Os autovalores da matriz E0 = k -1 1 , g| , k in R são E2 = k 1 1 , g| , k in R e , cada um com multiplicidade algébrica e geométrica igual a 1. Os autoespaços correspondentes são: