Obter os autovalores, se existirem, com suas multiplicidades algébrica e geométrica e os autoespaços associados as seguintes matrizes: A=[ll1 & 1 1 & 1];

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os autovalores de uma matriz, junto com suas multiplicidades algébrica e geométrica, e os autoespaços associados. A matriz dada é:
A = 1 & 1 1 & 1
Para isso, vamos precisar entender de autovalores e autovetores, e como calcular a multiplicidade algébrica (quantas vezes um autovalor aparece) e a multiplicidade geométrica (a dimensão do espaço de autovetores associados a esse autovalor).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Para isso, usamos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, A - lambda I = 1 - lambda & 1 1 & 1 - lambda é a matriz identidade e representa os autovalores.
Calculando :

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda) - (1)(1) = (1 - lambda)^2 - 1
Simplificando:
(1 - lambda)^2 - 1 = 1 - 2lambda + lambda^2 - 1 = lambda^2 - 2lambda
Então, a equação característica fica:
lambda^2 - 2lambda = 0

Passo 4

Resolvendo a equação característica para encontrar os autovalores:
lambda^2 - 2lambda = 0 lambda(lambda - 2) = 0
Portanto, os autovalores são:
lambda1 = 0 e lambda2 = 2

Passo 5

Agora, vamos determinar a multiplicidade algébrica de cada autovalor. A multiplicidade algébrica é o número de vezes que cada autovalor aparece na equação característica.
  • : multiplicidade algébrica = 1
  • : multiplicidade algébrica = 1

Passo 6

Em seguida, vamos encontrar a multiplicidade geométrica, que é a dimensão do espaço de autovetores associados a cada autovalor. Para isso, resolvemos A - 0 cdot I = A = 1 & 1 1 & 1 para cada autovalor v1 + v2 = 0 v1 + v2 = 0 .
Para v = v2 -1 1 :
A - 2 cdot I = -1 & 1 1 & -1
Resolvendo - v1 + v2 = 0 v1 - v2 = 0 :
v = v2 1 1
Isso nos dá a condição . Assim, o espaço de soluções é:
Portanto, a multiplicidade geométrica de é 1.
Para :
Resolvendo :
Isso nos dá a condição . Assim, o espaço de soluções é:
Portanto, a multiplicidade geométrica de é 1.

Passo 7

Por fim, vamos identificar os autoespaços associados a cada autovalor. O autoespaço é o conjunto de todos os autovetores correspondentes a um autovalor, incluindo o vetor zero.
  • Para E0 = k -1 1 , g| , k in R :
E2 = k 1 1 , g| , k in R
  • Para :

Resposta

Os autovalores da matriz E0 = k -1 1 , g| , k in R são E2 = k 1 1 , g| , k in R e , cada um com multiplicidade algébrica e geométrica igual a 1. Os autoespaços correspondentes são:

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