Considere V um espaço vetorial real de dimensão finita e T: V V um operador linear com polinômio característico
pT(x)=(x-lambda1)^alpha1 ldots(x-lambdar)^alphar
sendo lambdai neq lambdaj se i neq j. Para cada lambdai existe um único número natural di, chamado de índice de lambdai, com a seguinte propriedade:
N(T-lambdai I d) subsetneq N(T-lambdai I d)^2 subsetneq ldots subsetneq N(T-lambdai I d)^di=N(T-lambdai I d)^di+1=ldots
O subespaço Wi=N(T-lambdai I d)^di é chamado de autoespaço generalizado associado a lambdai.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um espaço vetorial pT(x) = (x - lambda1)^alpha1 ldots (x - lambdar)^alphar real de dimensão finita e um operador linear . O polinômio característico de é dado por:
onde cada é uma raiz distinta. Além disso, para cada , existe um número natural , chamado de índice de , que ajuda a definir o autoespaço generalizado associado a . Para resolver esse exercício, vamos precisar entender conceitos de polinômios característicos, núcleos de operadores lineares e autoespaços generalizados.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um polinômio característico. Para um operador linear , o polinômio característico é dado por , onde é a matriz identidade. As raízes desse polinômio, , são os autovalores de .

Passo 3

Cada tem uma multiplicidade no polinômio característico, o que significa que aparece vezes. Isso está relacionado às dimensões dos espaços próprios e generalizados associados a cada autovalor.

Passo 4

Agora, o enunciado menciona o núcleo . O núcleo de um operador linear é o conjunto de vetores que são enviados para o zero por esse operador. Assim, é o conjunto de vetores em tais que .

Passo 5

A cadeia de inclusão
N(T - lambdai I)^d subsetneq N(T - lambdai I)^d+1 subsetneq ldots
indica que, à medida que aumentamos o expoente, estamos incluindo mais vetores no núcleo. O número é o menor inteiro tal que .

Passo 6

Esse número é chamado de índice de . Ele mede o quanto o operador “muda” o espaço vetorial. Quanto maior for , mais “complexa” é a estrutura do espaço generalizado para .

Passo 7

O subespaço é chamado de autoespaço generalizado associado a . Esse espaço inclui não apenas os vetores próprios (onde ) mas também os vetores que “se aproximam” de serem próprios após várias aplicações de .

Passo 8

Resumindo, para cada autovalor de , existe um autoespaço generalizado que captura toda a informação sobre como age em relação a . Esses espaços generalizados são fundamentais para entender a decomposição de e para aplicar o teorema de decomposição de Jordan.

Resposta

Então, mostramos que para cada autovalor de , existe um único índice que define o autoespaço generalizado . Esses espaços generalizados são essenciais para analisar a estrutura do operador linear em um espaço vetorial de dimensão finita.

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