Considere
um espaço vetorial real de dimensão finita e
um operador linear com polinômio característico
sendo
se
. Para cada
existe um único número natural
, chamado de índice de
, com a seguinte propriedade:
O subespaço
é chamado de autoespaço generalizado associado a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um espaço vetorial
real de dimensão finita e um operador linear
. O polinômio característico de
é dado por:
onde cada
é uma raiz distinta. Além disso, para cada
, existe um número natural
, chamado de índice de
, que ajuda a definir o autoespaço generalizado associado a
. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender conceitos de polinômios característicos, núcleos de operadores lineares e autoespaços generalizados.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um polinômio característico. Para um operador linear
, o polinômio característico
é dado por
, onde
é a matriz identidade. As raízes desse polinômio,
, são os autovalores de
.
Passo 3
Cada
tem uma multiplicidade
no polinômio característico, o que significa que
aparece
vezes. Isso está relacionado às dimensões dos espaços próprios e generalizados associados a cada autovalor.
Passo 4
Agora, o enunciado menciona o núcleo
. O núcleo de um operador linear é o conjunto de vetores que são enviados para o zero por esse operador. Assim,
é o conjunto de vetores
em
tais que
.
Passo 5
A cadeia de inclusão
indica que, à medida que aumentamos o expoente, estamos incluindo mais vetores no núcleo. O número
é o menor inteiro tal que
.
Passo 6
Esse número
é chamado de índice de
. Ele mede o quanto o operador
“muda” o espaço vetorial. Quanto maior for
, mais “complexa” é a estrutura do espaço generalizado para
.
Passo 7
O subespaço
é chamado de autoespaço generalizado associado a
. Esse espaço inclui não apenas os vetores próprios (onde
) mas também os vetores que “se aproximam” de serem próprios após várias aplicações de
.
Passo 8
Resumindo, para cada autovalor
de
, existe um autoespaço generalizado
que captura toda a informação sobre como
age em relação a
. Esses espaços generalizados são fundamentais para entender a decomposição de
e para aplicar o teorema de decomposição de Jordan.
Resposta
Então, mostramos que para cada autovalor
de
, existe um único índice
que define o autoespaço generalizado
. Esses espaços generalizados são essenciais para analisar a estrutura do operador linear
em um espaço vetorial de dimensão finita.